AU PNR RER 1 AR

qui sont Lous plus petits qu'un nombre fixe, puisque R/<R, il est évident que la nouvelle série obtenue

Aj+24oX+...+nAnX 2-11...

est encore convergente. La seconde partie se démontre de même. Si la série

Ai+2AoX;+...+nAX2 1—+.,

où X, est supérieur à R, élait convergente, il en serait de même de la série :

A, X1 + 2 An X? +. Meme nAnX?+. CS

—+- © < à CHR — à É s : k et, par suite, de la série D A, X} qui a ses termes plus petits que ceux de la précédente. Le nombre R ne serait donc pas la borne

supérieure des valeurs de X qui rendent la série (9) convergente.

La somme f,(x) de la série entière (13) est une fonction con-

tinue de la variable dans le même intervalle. Cette série étant uni- Ce. 29

formément convergente dans tout intervalle (—R!, +R), où R'R, représente la dérivée de f(x) dans cet intervalle (n° 32). Comme le nombre R' peut être pris aussi rapproché de R qu'on le veut, on en conclut que la fonction f{x) admet, pour toute-valeur de x comprise entre — Ret +R, une dérivée qui est représentée par la série obtenue en différentiant terme à terme

(15) FX) = a 20 P PEUT ORDER

En raisonnant sur cette série entière comme on a raisonné sur la première, on en conclut que f(æ) admet une dérivée seconde

f'(r)=20:+64:% +4 FRE DOS

et ainsi de suite. La fonction f(æ) admet, dans l'intervalle (—R, +R), une suite illimitée de dérivées qui sont représentées par les séries obtenues en différentiant terme à terme

(16) f(æ)=1.2...nan+2.3..,.n(n H1)anr14ee0

Si l’on fait dans ces formules x = 0, il vient

[14 (o ao = f(0), = {0} A2 —= CON; et, d'une manière générale, (n) O aie TS 2 DS UT

de sorte que le développement de f(x) est identique au dévelop= pement que fournivait la formule de Maclaurin

f(æ) = f(o) + (0) - — fo) ++ —— fi (0) +...

Les coefficients @o, @1, -.., An étant égaux, à des facteurs numériques près, aux valeurs que prennent la foncuon f(x) et ses dérivées successives pour + = 0, il est clair que le développement d’une fonction en série entière ne peut être possible que d’une seule manière.

De même, en intégrant terme à terme une série entière, on obtient une nouvelle série entière, avec un terme constant arbi= traire, qui est convergente dans le même intervalle que la première, et l’admet pour dérivée. En intégrant de nouveau, on