II. — SÉRIES ENTIÈRES A UNE VARIABLE

obtiendra une nouvelle série dont les deux premiers coefficients seront arbitraires, et ainsi de suite.

Exemples. — 1° Pour toute valeur de æ comprise entre —1 el +1, la progression géométrique de raison — x

I—D+a— Di +,. ,+(—i)ar +...

I A 2 , \ est convergente et a pour somme x En intégrant terme à

terme entre les limites o et x, où |xæ|<1, on retrouve le déve-

loppement de log(1+ x) (n° 180)

an +

22 PA log(1+ x) — PSE + — —...+(—1) d

ITU

et la formule est encore vraie pour + —1, puisque la série qui est au second membre reste convergente pour æ —1.

2° Pour toute valeur de x comprise entre —1 et +1, ona aussi

ee UN LUE Dé +...+(—r)ra2n LE, ;

en intégrant terme à terme entre les limites o et æ, où |x|<1, il vient æ2n+i

Do da L Hiud D ane ee à {x ô [ 3 5 ) BIEN

La série restant convergente pour + = 1, on en conclut l'égalité

3° Soit F(x) la somme de la série convergente

— 7 D'AUTRE I m(m LD A parier 1)...(m — p + js

. Shna es 12 152-0600

où » est un nombre quelconque, et où |x|<1. On en déduit

RPETE ene( tes Mr 2 tam D 228 CD)

Weæ)=m|i+ sbs+,.. |

si l’on muluplie les deux membres par (1+ x) et qu’on réunisse les deux termes qui contiennent une même puissance de æ, il

vient, d’après l'identité

(m—1)...(m—p+1) de (m—1)...(m—p) m(m—1)...(m—p#1) .2.. (PE Fa uD “4 1287 0

qu'il est facile de vérifier,

| m MUC A G+æ) Fe) = m| 12 ET m(m—1)...(m—p+#+1 MERS De "UPPER / or... ],

5 Men eEpe .P c’est-à-dire

(i+æz)F(x) = mF(x).

‘ Cette relation peut s'écrire