II. — SÉRIES ENTIÈRES A UNE VARIABLE

méthode plus élémentaire. Soient #, un nombre compris entre —Ret+R, et x, un nombre voisin compris dans le même intervalle. Pour démontrer que la différence f(x) — f(æo) tend vers zéro lorsque, x, restant fixe, æ, tend vers x,, retranchons terme à terme les deux séries qui représentent f(x) et f(x); il vient

fear) — fr) = ad — Lo)]+ Q2(d$ — dé) +... + an(ri —%o) +... Le terme général de cette nouvelle série peut s’écrire 5 P an(ti— Lo)(TE + D go +... + xf !).

Pour avoir une limite supérieure de la valeur absolue de ce terme, désignons par / un nombre positif inférieur à R et supérieur à | &,| ; comme on doit faire tendre x, vers &,, nous supposerons aussi que l’on a {> ET |. La valeur absolue de l’un quelconque D produits x° !, x ” suite la valeur absolue du terme général considéré est inférieure

Æn. ... est alors inférieure à {2-1 et par

àanA,l1|x, — x,|. Nous avons donc LACar1) —f(&o) | <1%1— 0 (A1 + DAol +. .HnAnltel RE.

or la série entre parenthèses est une série convergente puisque LR (n° 183). Donc la différence f(x,) — f(x) tend bien vers zéro en même Lemps que æ1 — &, et la fonction f(x) est continue en tout point compris entre — R et + R.

Pour démontrer que f,(æ) est la dérivée de f(x), il suffit de même de prouver que la différence D Hat) Cas) ce

f1(Xo) Li — Lo

fai) — f(æ0)

tend vers zéro, lorsque +, tend vers x,. Le quotient Li — Lo

est égal, nous venons de le voir, à la somme de la série convergente

PE CE TT A Ce EC PE D et 1 ES ne

En retranchant terme à terme de cette série la série qui représente fi(to), on trouve pour D une série dont le terme général peut

s’écrire

an Cat — at 1) + (at ta et) ++ (ardt — op 1)]

et chacune des différences z#71 — gr gr DE 1 0 ) 1 0 ?

produit de +, — x, par des produits de la forme x? x4, p et g étant deux nombres entiers, dont aucun n’est négatif, et dont la somme est égale à z — 2. Le nombre total de ces produits est, il est aisé

de le voir, (n—1)+{(n—2)+ ... ts +r= ; et la

valeur absolue de chacun d’eux est inférieure à (272, le nombre / ayant la même signification que plus haut. On a donc

60 met À [D] a le [2 A + GAS USE + n(n—1)A,lr-2—+,, à et la série entre parenthèses est convergente lorsque / est un nombre positif inférieur à R, car c’est la série des modules de la série entière f(x), que l’on déduit de f, (æ) en différentiant terme

à terme. Par conséquent D tend vers zéro lorsque x, tend vers x.

185. Extension de la formule de Taylor. — Soient f(x) la somme d’une série entière convergente dans l'intervalle (—R, +R), x un point de cet intervalle, et x, + h un autre point du même intervalle, tel que [6 | + [2] <R. La série qui a pour somme f(x, + h)

dy + M (To+ h) + a2(ro+h} +... + An(Zo+h}t+...

peut être remplacée par une série à double entrée, que l’on obtient en développant les diverses puissances de æ, + h et écrivant sur une même ligne les termes de même degré en z

(19) A+ Aitot+ AotË +...+ anvt +...

+ 4h +2dth+...+ NA n LR h

n(n—1 ; + &h? La, 1e PORT) RER Je

Cette série à double entrée est absolument convergente ; en effet, si l’on remplace chaque terme par sa valeur absolue, on a la nouvelle série à double entrée et à termes positifs

(Q8) Ao+A12ol+ Aaof +...+ Anar...

+Ailh| +o2A:la||k|+...+ nAs]æol-11h]+.., n(n—1)

pu Ah /P Rest Ar TA