II. — SÉRIES ENTIÈRES À UNE VARIABLE. FD

Si l’on fait la somme des éléments de ce tableau par colonnes ver-

ticales, on obtient la série Ao+ Aullæel+lA|]+...+ Ax[læol+lAlT+...

qui est convergente puisqu'on suppose | To [+ |A]<R. On peut donc faire la somme des éléments du tableau (17), soit par lignes, soit par colonnes. En faisant la somme par colonnes, on retrouve /(49+ h); en faisant la somme par lignes horizontales, le résultat est ordonné suivant les puissances de À et les coefficients

"II 2 Dee ce 1 J' (To) de , k?, ... sont respectivement f’(xs), AU A Nous pou-

vons donc écrire, en supposant |A[<R—}x,|, Re He h' re (9) ro + À) = (ro) + = Pro) ++ EP (ro) +

La formule (19) s'applique certainement dans l'intervalle de Zoo -R+|xlèzo+R—]|x|, mais il peut se faire que la série qui est au second membre soit convergente dans un intervalle plus étendu. Considérons par exemple la fonction (+ x}*, où man'est pas un nombre entier positif ; le développement suivantles puissances de x est valable de 3 = — 1 jusqu'à x = +1. SORT, une valeur de æ comprise dans cette intervalle, nous pouvons écrire

Qi+æ)=(i1+aotr—m)"=(t+2)"[i+ 23], ou À ner A I+ ZX)

et développer (1+ 3)" suivant les puissances de 3. Ce nouveau développement sera valable pourvu que | 3 |<Z1, c’est-à-dire pour les valeurs de x comprises entre — 1 et 1+ 229. SI do est positif, le nouvel intervalle est plus grand que le premier (— 1, + 1) et, par conséquent, la nouvelle formule permettra de calculer la valeur de la fonction pour des valeurs de la variable situées en dehors de l’intervalle primitif. En approfondissant cette remarque, on est conduit à une notion extrémement importante, celle du prolongement analytique, dont nous réservons l'étude pour le

Volume suivant.

Remarque. — Les propriélés élablies pour les séries ordon-

nées suivant les puissances positives d’une variable + s'étendent évidemment sans difficulté aux séries ordonnées suivant les puissances positives de x — a et, plus généralement, aux séries ordonnées suivant les puissances positives d'une fonction continue quelconque e(x); il suffit de les traiter comme des fonctions composées, la fonction intermédiaire étant o(æ). Ainsi, une série L 4 s ie [ ordonnée suivant les puissances positives de = est convergente F4 pour les valeurs de x dont la valeur absolue dépasse une certaine limite, et représente une fonction continue pour toutes ces valeurs

de la variable. Considérons, par exemple, la fonction ÿx2— à, que , Ê (42 2 A nous pouvons écrire + æ(i— £) ; pour des valeurs de x dont ;

n. rs a \? : } la valeur absolue est supérieure à Va, (i &) peut être déve- ‘ :

; à à I ; "08e loppé suivant les puissances de 3 et l’on obtient ainsi la formule

qui donne le dévelobÿpement de ÿ/x?— a, lorsque æ est > Wa. Lorsque x << —(/a, la série est encore convergente et a pour somme —/x— a. Cette formule peut servir à trouver le déve-

loppement de la racine carrée d’un nombre entier, lorsque lon connaît le carré parfait immédiatement supérieur.

-186. Fonctions majorantes. Les propriétés déjà démontrées établissent une grande analogie entre les polynomes et les séries entières. Etant données plusieurs séries entières /, (x), [2(23% fa(æ), Soit(—r, +r) la plus petite des régions de convergence de ces séries ; pourvu que | x|< 7, ces séries sont absolument con vergentes et l’on peut les combiner par addition et multiplication, comme des polynomes. D'une façon générale, tout polynome 5 ©

entier en-f,(x), fa(x), ..., fa(æ) peut être développé en une série entière convergente dans le même intervalle.

Pour étendre ces propriétés, nous définirons d’abord certaines

Ft ; expressions, qui seront employées par la suite. Soient f(x) une série entière | JT) = dot tr + ar +. .+a,ar+.