II. — SÉRIES ENTIÈRES À UNE VARIABLE

et (x) une autre série entière convergente dans un intervalle convenable

p(T) = ao + MT + dl +,,.+ ant +...,

dont tous les coefficients à; sont positifs. On dit que la fonction o(x) est majorante pour la fonction f(x) si chacun des coefficients &, est supérieur ou au moins égal à la valeur absolue du coefficient correspondant de f(x)

| &o | < %o, | ai | So, SES, lan |£Ans .….;

d’après une notation proposée par M. Poincaré, on indique ainsi cette relation entre les deux fonctions f(x) et o(x) :

L'utilité des fonctions majorantes dans les raisonnements tient à la propriété suivante, qui est une conséquence immédiate de la définition : Soit P,(@o, &i, ..., ax) un polynome dépendant des » +1 premiers coeflicients de f(x), et dont les coefficients sont réels et positifs; si l’on remplace dans ce polynome @, &, ..., an par les coefficients correspondants de la fonction majorante ©(æ), on a évidemment

PRG arr} P Cao, 1, ::., An).

Par exemple, si p(æ) est une fonction majorante pour f(x), la série qui représente [ o(x) [? sera majorante pour | f(x) ACER en général, [o(x) |? sera majorante pour [f(æ)]". De même, si © et w, sont des fonctions majorantes pour f et f, respectivement, le produit 6®, sera une fonction majorante pour ff1, ....

Étant donnée une série entière /(æ) convergente dans l’intervalle (— R, + R), la recherche d’une fonction majorante est un problème d’une grande indétermination. Mais il ÿ à intérêt, pour la suite des raisonnements, à choisir une fonction majorante aussi simple que possible. Soit r un nombre positif inférieur à R, mais aussi voisin de R qu’on le voudra. La série étant absolument convergente pour æ—7, soit M la borne supérieure de la valeur absolue des termes de cette série ; on a, quel que soit A,

M [an | = An£—:

458 CHAPITRE IX. — SÉRIES ENTIÈRES. — SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. e ’ Lu mr 9 \ 14 La série dont le terme général est M Sn est-à-dire

4 À M’ M NÉSPMA ER + = — r: été

est donc une fonction majorante pour /(x); c’est celle dont on se sert le plus souvent. Lorsque la série f(x) ne présente pas de terme constant, on peut de même prendre pour fonction majorante la fonction

Où peut prendre pour 7 un nombre quelconque inférieur à R, et il est clair que le nombre correspondant M diminue en général avec 7, mais ne peut jamais être inférieur à AÀ,, si A4 n’est pas nul. Lorsqu'il en est ainsi, on peut toujours trouver un nombre

ositif o < R, tel que la fonction soit majorante pour f(x). P | dl q J P

En effet, soit à ME æ!

M+M-+<M= +... +M— +...; 7 r'* que oùM>> A,,une première fonction majorante. Prenons un nombre 0

TPE ArAS AS inférieur à 7° > °n peut écrire, en supposant n 2 1,

DINCIL \ a—1 [anpt|= arr | x (8) <MÊ(E) 4 ' FT el par suite | an p° [<< A5; d’ailleurs, on a [as] = A. La série x? HAL À 0 + À 6 — + Ao— +. An

est donc majorante pour f(æ); cette propriété nous servira tout à l'heure. Plus généralement, on peut prendre pour M un nombre quelconque supérieur ou au moins égal à A4. |

On verra de la même façon que, dans le cas où a; — 0, on peut prendre pour fonction majorante une expression de la forme

où est un nombre posiuf arbitraire.