AT AT

, 7 = —— = 0. La courbe présente dt dt

à l’origine un point de rebroussement de première espèce, avec l’axe des x

pour tangente.

passe par l’origine et l’on a, eñ ce-point

20. Dérivées partielles. — Soit w — f(x, y) une fonction des deux variables indépendantes x et y définie dans un certain domaine D. Si l’on attribue à l’une des variables, y par exemple, une valeur constante, ce qui revient à faire mouvoir le point (x, y) sur une parallèle à l'axe des x dans le domaine D, on a une fonction de la seule variable x, dont on désignera la dérivée, si elle existe, par /, (x, y) où w,; on désignera, de même, par w, ou f(x, y), la dérivée de la fonction f(x, y), où l’on regarde æ comme une constante el y comme la variable indépendante; f(x, y) et f;(æ, y) sont les dérivées partielles de la fonction f(x, y). Ces dérivées partielles sont elles-mêmes des fonctions des deux variables +, y; si l’on prend, à leur tour, leurs dérivées partielles, on obtient les dérivées partielles du second ordre de f(x, y). Ona ainsi quatre dérivées partielles du second ordre f,., Jar LES On définira de même les dérivées partielles du troisième ordre, du quatrième ordre, etc.; d’une manière générale, étant donnée une fonction d’un nombre quelconque de variables indépendantes w — f(x, y, z, ..., t), une dérivée partielle d'ordre n est le résultat de » dérivations successives effectuées sur cette foncuon f dans un certain ordre, par rapport à quelques-unes des variables qui y figurent. Nous allons établir que ce résultat ne dépend pas de l’ordre dans lequel on effectue ces dérivations.

Nous démontrerons d’abord le lemme suivant :

Soit w— f(x, y) une fonction des deux variables Re ON à fxy = f;», pourvu que ces deux dérivées partielles soient continues.

Nous allons, pour cela, mettre sous deux formes différentes l'expression

ÜU= f(x +Av, y +Ay) — f(x, y +Ay)— f(x + Az, y) fa, p),

A 9 É e , KW LA où l’on suppose que x, y, Ar, Ay aient des valeurs déterminées.

= Qr