Substitution d’une série dans une autre série. Soit
(20) 5 f(Y)= + y +...+anyi+...
une série ordonnée suivant les puissances d’une variable y, et
convergente pourvu que l’on ait [y |<CR. Soit, d'autre part,
(21) Y=op(r)=bo+bir +... .+<b,æn+...
une autre série convergente dans l'intervalle de — 7 à + r. Imaginons qu’on remplace, dans la série (20), y, y?, 7°, ... par leurs développements en séries ordonnées suivant les puissances de x, déduits de la formule (21); nous obtenons de cette façon un tableau à double entrée
(22) &o+ io + a2bè +...+ An0G +...
+ &410,% +92a0ob:1x +...+ nan 0 l bix +...
ir dy ba æ? + a}(b5+2bob:)x?+. .
et nous allons chercher si ce tableau à double entrée peut être absolument convergent. Il faut d’abord que la série obtenue en prenant les termes de la première ligne, c’est-à-dire
do + di bo + ab +..
soit absolument convergente, ou que l’on ait | b, | <R. Cette con-
dition est suffisante. En effet, si elle est remplie, on peut prendre pour fonction majorante de o(x) une expression de la
forme
nt A L . ?’ L] r Où m est un nombre positif quelconque supérieur
à |b |, et où p << 7 ; on peut donc supposer que l’on a pris nm <RK. Soit R/ un nombre positif compris entre » et R ; la fonction f(y) admet elle-même pour fonction majorante une expression de la forme
ie LE nl Nr Meur JU É M Me Le
É 2 NE m ; Si dans cette dernière série on remplace y par = et quon
P développe les diverses puissances de 3 suivant les puissances
croissantes de x par la formule du binome, on obtient un nouveau tableau à double entrée
(1m) m \" MOT m\rr
dont tous les coefficients sont positifs et supérieurs aux valeurs äbsolues des coefficients correspondants du tableau (22), car un coefficient quelconque du tableau (22) se déduit des coefficients @,; Ai Ans +.., Do, Vi, O2, +.., par des additions et des multiplicaæ tions seulement. Si donc la série double (23) est absolument convergente, il en sera de même & fortiort de la série double (22). S1 dans la série (23) on remplace x par sa valeur absolue, il faudra; pour que le tableau soit convergent, que les série obtenues en prenant les termes d’une même colonne soient convergentes, c’eslà-dire que l’on ait] x | < p. Cette condition étant remplie, la somme des termes de la (n + 1)iéme colonne est égale à
mn n
