III. — SÉRIES ENTIÈRES A PLUSIEURS VARIABLES

190. Région de convergence. — Considérons d’abord une série entière (33) à Ann X/" ve

dont tous les coefficients À,, sont positifs, et où les variables X et Ÿ ont elles-mêmes des valeurs positives. Il est clair que si la série est convergente pour un système de valeurs positives X,, Y,, elle sera convergente pour lout système de valeurs (X, Y} él qu'on ait X£X,, Y£Y,. Au contraire, si la série (33) est divergente pour les valeurs X5, Y,, elle sera «& fortiori divergentessi l’on a à la lois XZ X,, Y 2 Y,. En d’autres termes, si la série (33) est convergente pour les coordonnées d’un point M situé dans l'angle XOY, elle est aussi convergente pour tous les points situés à l'intérieur ou sur les côtés du rectangle OPMQ (fig. 32); aù contraire si la série est divergente pour les coordonnées du point M, elle est divergente en tout point situé à l’intérieur ou sur les côtés de l’angle droit P.MQ"’.

Cela posé, considérons une demi-droite indéfinie OL, dans l'angle XOY, et un point » décrivant cette demi-droite à partir de l’origine. Les coordonnées de ce point m, et par suite tous les