I. — SÉRIES ENTIÈRES À PLUSIEURS VARIABLES

termes de la série (33), où Ay»» n’est pas nul, vont en croissant lorsque le point » s'éloigne de l’origine. Il y a donc sur la droite OL un point séparatif M tel que la série (33) est convergente pour tout point du segment OM compris entre l’origine et le point M, et divergente pour tout point de OL au delà du point M (!)

1° 9 Pres3a.

Co nme cas particuliers, il peut arriver que le point M soit à Porigine; la série (33) est alors divergente pour tout point non situé sur l’un des axes OX où OY. Sile point M est rejeté à l’infini, la série (33) est au contraire convergente quels que soient X et Ÿ, c'est-à-dire dans tout l’angle XOY.

Laissant de côté ces deux cas extrêmes, sur chaque demi-droite OL située dans l'angle XOY nous avons ainsi un point M, dont la distance à l'origine varie d’une manière continue avec le coefficient angulaire À de cette droite. Soit en effet OL/ une demi-droite voisine de OL (fig. 32). La série (33), étant convergente en tout point du segment OM, est convergente en tout point situé à l’intérieur du rectangle OPM Jet, par suite, entout point dusegment OR, Au contraire, la série (33), étant diversente en tout point de ML, est aussi diver:ente en tout point le SL. Le point séparauf M’ de la demi-droite OL est donc un point du segment RS, el par conséquent ce point M! vient se confondre avec le point M lorsque OL vient se confondre avec OL. Le lieu décrit par le

(*) Si À est le coefficient anjulaire de la droite OL, l’abscisse du point M est

: ee : HR ., l'inverse de La plus grande des limites de l'ensemble des nombres VA, À4, où R= p+q(LeuaRre, Bulletin des Sciences mathématiques, 1856, p. 286).

point M lorsque la demi-droite OL décrit l’angle XOY est une courbe F qui sépare cet angle XOY en deux régions distinctes, une région intérieure (1) et une région extérieure (E). Un point »” est dans la région ([) si ce point est situé entre l’origine et le point séparauf M de la droite Om, et il est dans la région (E) dans le cas contraire. Il résulte de la définition même de cette courbe F que la série (33) est convergente en tout point de la région () et divergente en tout point de la région (E). En un point de la courbe séparatrice F la série peut être convergente ou divergente suivant les cas.

Cette courbe séparatrice F peut avoir des formes très diverses, suivant la série considérée. [1 résulte seulement du raisonnement fait plus haut que l’ordonnée d’un point de cette courbe ne peut augmenter lorsque l’abscisse augmente et inversement. Pour voir ce qui arrive lorsque OL tend vers OX, il suffit de remarquer que l’abscisse du point M ne peut décroître et que l’ordonnée de ce point ne peut augmenter; y tend donc vers une limite, tandis que x peut tendre vers une limite ou augmenter indéfiniment. La courbe F peut donc aboutir à un point À de OX, ou avoir une asymptote parallèle à OX, qui peut être l’axe lui-même. Remarquons seulement que, lorsque la courbe l'aboutit à un point AdeOX, la série (33) n’est pas forcément divergente pour tout point de l'axe OX au delà du point A. Il est clair que tout cela s'applique" aussi à l’axe OY.

rs XmVYnr : É :

Exemples. — 1° La série £M —— est convergente si l’on a à la fois abrn M X<a, Y <b,et dans ce cas seulement, et a pour somme 7 CRTC CR 1— — 1 +

La courbe F est formée ici des deux côtés d’un rectangle parallèles aux axes: 2° La série double

mn)! XmYn M trs DLEET M m!n! ar bn P Y I—(—+— a b

> nie ee, est convergente si l’on a = M pod La courbe T est ici-un segment de

droite compris entre les deux axes OX, OY.

3° La série double E A,,, X” Yr, où l’on a A ym= 1, êt A mn = 0 (pour mn), n’est convergente que si l’on a XY 1. La courbe F estune branche d’hyperbole asymptote aux deux axes.