II. — SÉRIES ENTIÈRES A PLUSIEURS VARIABLES

24 Y\n MENT,

See D

4° La série

où les indices m et n varient de un à ++, cst convergente à l'intérieur du même rectangle que la série du premier esemple et en outre en tous les points des axes OX et OY. Lorsque la demi-droite OL tend vers OX, le point M de OL tend vers le point d’abscisse « de OX tandis que le point séparatif de OX est rejeté à l'infini.

5° La série Zn '!X*Yzest divergente en tout point non situé sur les axes.

191. Propriétés des séries entièrés. — Prenons maintenant une série entière à coefficients quelconques

(34) Fier) = D am" yr, m,n Dont, la. X—=}|x|, Y —|y|. La série des valeurs

absolues (33) est convergente si le point de coordonnées X, Y

se trouve dans la région (1) qui vient d’être définie et dans ce cas seulement. Par suite, la série (34) est absolument convergente si le point de coordonnées (x, y) se trouve dans la région du plan (D) limitée par quatre courbes égales à la courbe séparatrice F, l’une étant la courbe T elle-même et les autres s’en

déduisant par symétrie ( fig. 33).

En un point extérieur à la région (D), non situé sur les axes, la série (34) n’est pas absolument convergente. On ne peut la transformer en une série convergente, quel que soit l’ordre dans lequel on range les termes. Soient, en effet, x,5, yo les coordon-

nées d’un point extérieur à D, et non situé sur les axes; la valeur

absolue du terme général de la série EG mn Ty

(247: A ÿo ne peut étre bornée. Si l’on avait, en effet,

AmnXQ << M,

quels que soient » et nr, M étant un nombre fixe, on en conclurait que le terme général de la série (33) est plus petit XmVYn

[To [re | Vo je qui est convergente pour X <|x, k, Y]7,|l. Le point deco

que M

» c'est-à-dire que le terme général d’une série

données |x,|, |y,| ne peut donc être extérieur à la courbe P, et, par conséquent, le point (+5, Yo) ne peut être extérieur au domaine D. En un point de la courbe qui limite ce domaine, la série (34) peut être convergente ou divergente, comme la série (33) elle-même.

Soient a, b les coordonnées d’un point de (D) à l’intérieur de l’angle æO7y. La série (34) est uniformément convergente à l'intérieur du rectangle MM'M’M" [ormé par les quatre droites = + a, y—=:#b et, par conséquent, F(x, y) estrune fonction continue des variables x et y dans ce rectangle. Il s’ensuit que F(x, y) est une fonction continue en tout point de D: en effet, étant donné un point quelconque m de ce domaine, ilest clair qu'on peut trouver dans D un autre point M tel que m soit à l’intérieur du rectangle tel que MM'M"M”.

En différentiant terme à terme la série (34) par rapport à &ou par rapport à y, on obtient deux nouvelles séries

Fix, y) ZNS MA mn LM AVR,

F;(x, Y)= à Ann Le" y,

qui admettent le méme domaine de convergence que ‘@& série (34). Il suffit de démontrer que la série Ÿ M À nn NTM

NT, 7è