I. — DÉFINITIONS. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES

Si l’on pose, en désignant par ? une variable auxiliaire, p(v) = f(x + Ar, v) — f(x, v), on peut en effet écrire U=s(yrÆay) = Cr);

l'application du théorème des accroissements finis à la fonction o(v) nous donne

U = Ayy,(y +0Ay), où RÉALISER E Remplaçons w!. par sa valeur; il vient encore U = Ay[f',;(e + At, y +0Ay)—f},(x, y +04Ay)].

Une nouvelle application de la formule des accroissements finis 4 4 ap * .

à la fonction f,(u, y + 6Ay), en y regardant maintenant 4 comme la variable indépendante, nous donne

U—azAyfyr(æ +0 Ar, y + 04Ay), 0 ROME»

D'après la symétrie de l'expression U en æ, y, Ax, Ay, on trouverait de même, en échangeant le rôle des variables x et y,

U = AyAzfzr(z + 0, Ax, y +0, AY),

4, et 0! désignant encore des facteurs positifs inférieurs à un. Egalons ces deux valeurs de U; en divisant par Ax Ay, il reste

Ce + 0 4, J + 4y) = fyr(e +0'Ax, y +047);

les dérivées f,,, f;, étant supposées continues, si l’on fait tendre Ax et Ay vers zéro, les deux membres de l'égalité précédente tendent respectivement vers f,, et fx et l'on parvient à l'égalité qu'il s'agissait de démontrer.

Il est à remarquer que la démonstration précédente ne suppose rensurles autres dérivées du second ordre f,et f:; elle s’applique aussi au cas où la fonction f(x, y) dépend d’autres variables indépendantes que + et y, en nombre quelconque, puisque ces variables doivent être traitées comme des constantes dans les dérivalions précédentes.

* Cela posé, soientw —f(r,y,3,...,t)une fonction d’un nombre quelconque de variables indépendantes, et Q une dérivée partielle

d'ordre n de cette fonction. Toute permutation, dans l’ordre des dérivations qui conduisent à Q, peut être obtenue par une suite d'échange entre deux dérivations consécutives, et, comme ces opérations ne changent pas le résultat, d’après ce que nous venons de voir, il en sera de même de la permutation considérée. Il suit de là que, pour avoir une notation qui désigne sans ambiguïté une dérivée partielle d’ordrein, il suffira d'indiquer le nombre de dérivatons qui sont effectuées par rapport à chacune des variables indépendantes. Ainsi les dérivées partielles d’une fonction de trois variables w = f(x, y, z) seront représentées par l’une ou l’autre des deux notations

Te ys zr(®, Y; z), De zrJ (æ, PV Z),

Où p+qg—+r—n. L'une ou l’autre de ces deux notations représente le résultat qu’on obtient en dérivant successivement p fois par rapport à +, g fois par rapport à y, r fois par rapport à z, ces opérations étant effectuées dans un ordre arbitraire. Il y à rois dérivées partielles du premier ordre, f!, Jr f-; Six dérivées par- Uelles du second ordre, f;; UE FAR À à RS

D'une facon générale, une fonction de p variables indépendantes a autant de HR partelles d'ordre » qu'il y a de termes distincts dans un polynome homogène d'ordre n à p variables, c’est-à-dire

(n+I)(n+2)...(n+p—1) {PHASE

comme l’apprend la théorie des combinaisons.

Ilexiste, pour les fonctions de plusieurs variables, des formules analogues à la formule de la moyenne. Considérons, pour fixer les idées, une fonction f(x, y) de deux variables ind æ

ety. La différence f(x +h,y+k)— f(x, Y) peut s’écrire LG + 6 7 +R) — fe, 7 + 0] + Lx, y FAC

en appliquant la formule de la moyenne à chacune des deux différences, nous {rouvons

(8) ee den Ua =hfs(c+0k, y +k)+kf,(e, y +VE),

6 et 0’ étant compris entre zéro et un,