III, — SÉRIES ENTIÈRES A PLUSIEURS VARIABLES

par exemple, admet la même courbe séparatrice F que la série (33).

La démonstration, loute pareille à celle du n° 183, comprend deux parties :

19 Si la série SEmA»,X"71Y' est convergente, il en est de meme de série ZA, XT1YŸ et, par suite, de la série (33);

20 Inversement, si la série ZA, XŸY® est convergente, la série EMA» X71 Y" esl convergente DOUTE NE XT ATESS

Supposons, en effet, que l’on ait, quels que soient mn et n,

Ann X59 YG << M;

on en déduit l’inégalité

Ï m—1 /VY\n D pie AY ie ( ) (x) ;

Xo Lx

et le second membre est le terme général d’une série double convergente dont la somme est

M I X9 (; =) (— ot : Xo, v)

Si l’on ordonne les deux séries F(x, r»)et F,(x, y) par rapport

aux puissances croissantes de +, on a, en considérant y comme constant, deux séries entières en +, et d'après la facon dont la seconde série se déduit de la première, on a

oF Fi(x,y)= —:

EE Pour la même raison, on a aussi R 0F Fo(æw,y) = Fe

Plus généralement, la série (34) peut être ditférentiée terme à terme un nombre quelconque de fois dans le domaine D. Ainsi, ns à x on+nK la dérivée partielle =———

JA yA dont le terme constant est mln!la»,; les coefficients a», repré-

sentent donc, à des coefficients numériques près, les valeurs des

est égale à la somme d’une série double

dérivées partielles de la fonction F(x, y) pour x =y=o, et la

formule (34) peut encore s’écrire

( on-+n )

x dy

€7%) Her) Dr PUS

CON SRE EU

ce qui montre, remarquons-le en passant, qu'une fonction de deux variables ne peut être développée en série entière que d’une seule façon. Si l'on groupe ensemble tous les termes de la série double du même degré en x et y, on obtient une série ordinaire

(54) F(r, J)= %0+pi+ pit... Ho +,

£a élant un polÿnome homogène de degré n en x, y, que l’on pèut écrire, sous forme symbolique,

: I oF ÔF \(#), ANA E (rS ir) ?

ce développement est donc identique à celui que fournirait la formule de Taylor (n° 29).

Soient (#5, Y») les coordonnées d’un point de D, et r, p les coordonnées d’un point de la courbe F, telque | 21e 0 | . Prenons dans D un point voisin (x5,-+ h, y + k), tel qu'on ait

[tol+ TA <r, à 11e PER A l'intérieur du rectangle formé par les quatre droites | |}, la fonction F(x, y) peut être développée en série entière ordonnée suivant les puissances de æ — #4 et y — yo

æ = ZX E[r— ||],

PORC TRS

dg+nK nr a (36) F(ro+h, yo+ LE e=: s

| moy" °mln!

On le démontre en remplaçant, dans la série double > Amn(To + IDLTGTES k)",

chaque terme par son développement, suivant les puissances de À et de #, et observant que la nouvelle série multiple est absolument convergente, sous les hypothèses qui ont été faites. En ordonnant cette nouvelle série suivant les puissances de h et de Æ, on arrive précisément à la formule (36).