SCORE

est aussi une fonction majorante; car le coefficient de x”y”

dans d(æ,y) est égal au coefficient de ce même terme dans TT 2 min À : : ; RE M (- Re) et, par conséquent, est au moins égal à celui

de "y" dans w(x, J').

De même, étant donnée une série triple

CE, VY, 4) = Éamnpt"Y" zP,

si elle est absolument convergente pour #=7r, y =7, 2

r, 7, r” étant trois nombres positifs, elle admet pour fonction . majorante une expression de la forme

D Fo \ tr bi * Ji

qu'on peut remplacer encore par l’une quelconque des suivantes :

M M POSER DR TR ET Ce À DT BR RS 7 CE r 1 73 7 Jù 7:

Lorsque f(x, y, 3) ne renferme pas de terme constant, on peut prendre aussi pour fonction majorante l’une ou l’autre des précédentes, diminuée de M. |

Le théorème sur la substitution d’une série entière dans une autre série entière (n° 187) s'étend aux séries à plusieurs variables. St, dans une série entière convergente à p variables y Pas +, Vp, 0R remplace ces variables par p développements | en séries entières à q variables Li, La, ..., Lg, NE DI'ÉSER (ANT pas de termes constants, et convergentes, le résultat de 1 substitution peut étre mis sous forme d'une série entière … ordonnée par rapport aux puissances \deL r\n Les 0 pourvu que les valeurs absolues de ces variables soient inférieures à certaines limites. |

La démonstration étant la même, quel que soit le nombre des

variables, nous nous bornerons, pour fixer les idées, au cas particulier suivant. Soit

(37) tre Zanny "2% . Le

une série entière convergente pourvu que l’on ail SR, |31SR2 5 P I % ; 3 soient d’autre part

(38) Y=bir+birt+,,. + b,gn,,

ICI T Cat CREUSE 1 deux séries, sans Lerme constant, convergentes dans un certain intervalle. Dans un terme quelconque de la série (37) remplasons y el z par leurs développements en série (38); nous obte- 8

nons pour y”z" une nouvelle série entière en æ, et la sèrres