COURBES ET SURFACES ANALYTIQUES
193. Fonction implicite d’une variable. —— On a déjà établi. (p. 81 etsuiv.) l'existence des fonctions implicites, sous certaines conditions de continuité. Lorsque les premiers membres des équations considérées sont développables en séries entières, on arrive à des résultats plus précis, que nous allons maintenant exposer.
Soit F(x, y) — o une équation où le premier membre peut étre développé en série convergente, ordonnée suivant les puissances croissantes de x — x, Y — Jo; Celle série ne présentant pas de terme constant, et le coefficient de y —y n'étant pas nul. Cette équation admet une racine, el une seule, qui tend vers Yo lorsque x tend vers To, et celte racine peut étre développée en série entière ordonnée suivant les puissances de try
Afin de simplifier les calculs, supposons Ty= Yo —=0, ce qui revient à déplacer l’origine. En isolant dans un membre le terme du premier degré en y, on peut écrire l’équation proposée
(41) Y'= (te, y) = ox + A0? + A1 EY + pa? +. a
les termes non écrits étant d’un degré Supérieur au second. Nous allons d’abord montrer qu'on peut salsfaire formellement à l'équation (41) en remplaçant 3 par une série
(42) TT NE CE Le UN
et en opérant sur le second membre comme si cette série était convergente. On trouve, en effet, en identifiant les deux membres, après la substitution effectuée, les conditions
Ci — io, 2 = so Ari Cie rGop2c?, sie
d’une manière générale, c} s'exprimeau moyen des coefficients &,y, Où + KA£n, et des coefficients précédents €,, C2, par des additions et des muluiplications seulement, de sorte que nous
pouvons écrire (43) Can = Pa(@io, Go, Gi, +++, don);
P, étant un polynome dont tous les coefficients sont des nombres entiers positifs. La légitimité des opérations précédentes sera éta- blie, si l’on démontre que la série (42) ainsi obtenue est convergente pour des valeurs de x suffisamment petites. On se sert pour cela d’un artifice très général, dont la première idée est due à Cauchy, et qui repose sur l'emploi des fonctions majorantes. Soit CAC D EPS AL Le
une fonction majorante pour f(æ, y), où l'on a bi — bo —0, et où Omn est positif et au moins égal à [dmn|; si l’on considère l'équation auxiliaire
(41) Voir eZ t" Ya,
et que l’on cherche, comme plus haut, à satisfaire à cette équation en prenant pour Ÿ une série entière en #,
42°) MC Cri... + Cri +. .., on obtiendra de même, pour les coefficients C1, GC, ..., les valeurs
Ci = Oo, Ce = D20 + b11 Ci + Vos CŸ, EEE et en général
(43) Cu = Pn(b10; Dos +, bon).
La comparaison des relations (43) et (43) nous montre aussitôt que l’on a {c,| C,, puisque tous les coefficients du polynome P, sont positifs et que l’on a la. 10: Parsérief2) sera donc convergenle si la série (42!) est elle-même convergente. Or, nous pouvons prendre pour la fonction majorante o#(x, Ÿ) une expression de la forme
one”
AtRr ° étant trois nombres posiufs, el l'équation auxiliaire (41)
devient, en chassant les dénominateurs,
vi p?2Y M p° AR.
p+ M P+Mr-X Cette équation admet une racine qui est nulle pour æ— 0; cette racine à pour expression p? p? / 4M(o+<M) Nr = EL TMS 2(0 + M) 2(0 + M) Y Que Fr — x
la quantité sous le radical peut s’écrire ÆÙ D \ LA 2) Fe F1 ?
LRURS 1 en posant
le) 2 \ A — FI —— (= + 2 x) } et l’on a encore
ah 24 ARTS ÉTÉ EE ANT | = (-2) (1-2) À]
Cette racine Y peut donc être développée en série convergente dans l'intervalle (
2, +4); ce développement est forcément identique à celui que fournit la substitution directe, c’est-à-dire au développement (42'). Par suite, la série (42) est, a fortiori, convergente dans l'intervalle (— 4, + 4), mais ce n’est là qu'une limite inférieure de l'intervalle de convergence qui peut être beaucoup plus étendu.
D'après la facon même dont on a obtenu les coefficients cd est évident que la somme y de la série (42) satisfait à l’équation (41). Écrivons cette équation F(x, y)=y—/f(x, y)=0:; et soit y — P(x) la racine que nous venons d’obterir. Si l'on pose, dans F(x, y), y—=P(x) +3 et qu'on ordonne le résultat de Ja substitution suivant les puissances de æ et de 3, tous les termes doivent être divisibles par 3, puisque ce résultat doit être nul, quel que soit +, quand on fait z—0. On 2 do
quement Ffx, P(x)+z]=3Q(x,z),
Q(x,3) étant une série enlière en x et 3, et si l’on remplace maintenant 3 par y — P(x) dans Q(x, 3), on arrive en iéfinitive
ES
à l'identité
Hé nhe CrE (x) Qi(æ: x) le terme constant de Q, doit être égal à l'unité, puisque le coefficient de y doit être égal à un, et nous pouvons écrire
(44) F(x,y)=[y—P(x)](Gi+ax+8y +...)
Cette décomposition de F(x, y) en un produit de deux facteurs est due à M. Weierstrass. Elle met eu évidence la racine y = P(x); elle montre de plus qu’il n’y a pas d’autre racine de F(x, y) = 0 s'annulant avec æ, puisque le second facteur ne tend pas vers zéro lorsque x et y tendent vers zéro.
Remarque. — Pour déterminer les coefficients successifs du développement (42), écrivons l'équation proposée
RD Ari + cn D(x, np) + Crrtie.. + Dy?+..., A 0;
où P(æ, y) est une série entière en æ et y, et où les termes non écrits forment deux séries entières en æ et en y respectivement, dont l’une est divisible par æ?+1 et l’autre par y?. Le premier terme de la série cherchée est Ax” et,enposant y = z"(AÀ +3 ), il reste, après avoir divisé par +” les deux membres de l'équation (41”), une équation de même forme
ANIME LS di(T,. 2) +. ..;
le premier terme du développement de 3 est Aix, et par suite le second
terme de y est Ajæ*tm; il est clair qu'on peut continuer ainsi indéfiniment (1).
194. Théorème général. — Considérons maintenant un système de p relations entre p + q variables F; (Æ1, Da, s..) Lg: JTE A ÉRies 0:
RP OP CL Re re — (45) 9 (V1, Lo, > Las Vis Vas : > Hp) 0,
ACARE ZT Tag; V2, Ja; CRCSC AC) Yp) 10;
où les fonctions F,, F,, ..., F, sont nulles pour +; =yx—o et
(1) Quand on a obtenu ainsi un certain nombre de termes, on peut doubler Le nombre de ces termes par une division. [ Voir un article Sur le dével>ppement en série entière d’une branche de fonction implicite (Nouvelles Annales de Mathématiques, 1904).]
sont développables en séries entières dans le voisinage; nous sup- DPF, Es
D(Yy1, Ye; .. Y'p) n'est pas nul pour ces valeurs. Dans ces conditions, Les équa-.
tions (45 )admettent un système de solutions, et un seul, de la forme
posons de plus que le déterminant fonctionnel
Va = Pi dis La; ss La hs * Yp= Dh(T1, Toÿ: +.) 24),
Pis Po, ..., @ étant des séries entières en x, æa, Lqs QU S'annulent pour = rs Ne BrA0: |
Pour simplifier l’écriture, bornons-nous au cas de deux équa- Uons entre deux fonctions &w et + et trois variables indépendantes æ, y, z,
Fi=au+be + cx + dy +ez +...—=0,
46 J (46) l F=a'u+b'o+cr+d'y+ez+...=0.
Puisque le déterminant ab'— ba! n’est pas nul, par hypothèse, on peut remplacer les deux équations (46) par deux équations de la forme |
U = Eamnpqgr£" YA zPuIvr,
p = DopnpyrT yzPuIr,
les seconds membres ne renfermant pas de termes constants, ni de termes du premier degré en u et v. On démontre, de la même façon que plus haut, que l’on satisfait formellement à ces équations en prenant pour w et » des séries entières en PS À:
(48) u = Zoyyxiyhzl, pe = Zc;y;ai yhzt,
les coefficients cx, et c:,, se déduisant des coefficients na et Ünnpyr par des additions et des multiplhications seulement. Pour établir la convergence de ces développements, il suffit encore de les comparer aux développements analogues obtenus en cherchant à salisfaire aux deux équations auxiliaires
: - N D M (ES ee
M, 7 et p étant des nombres positifs dont on a déjà expliqué la signification. Ces deux équations auxiliaires se réduisent à une
La
équalion unique du second degré
| 2p+4M 2p0+—4M T—(T+HyY+s) qui admet une racine nulle DOUTE IN 6 0, Cette racine a pour expression pe T+Y+Z
Dh ton 4 1 Poe" Au AR CES RS?
4(o+—2M) 4(p+2M) PC dat ln
en posant EEE T: (5) .
Cette racine peut être développée en série entière convergente, , % tant que les valeurs absolues de x, y, 3 ne dépassent pas CE Les
séries (48) sont donc convergentes entre ces limites. |
Soient w, et », les solutions développables des équations (47). Si l’on pose u=u; + u', 0 = vi + o’ et qu'on substitue dans les équations (47), puis qu’on ordonne suivant les puissances de x, y, 3, u!, v!', tous les termes devront contenir uw! ou +’ en facteur. Il s'ensuit qu’en revenant aux variables +, y, z, u, v, les équations proposées peuvent s’écrire
(u—w)f +(P—vi)g =0,
(471) (u— ui) fi+(v—#i)p1=0,
f, ©, fi; ®1 étant aussi des séries entières en x, ÿ, 3, u, 4. Les solutions u—u,,/—#+9, sont ainsi mises en évidence; mais on voit de plus qu'il n’y a pas d’autres solutions s’annulant pour æ = y — 3 — 0. En effet, toute autre solution des équations (47°) doit annuler fo,—/f,; or, en comparant les équations (47) et (47/), on voit que le terme constant dans f et o, es égal à l'unité, tandis qu'il est nul dans f, et ©. On ne peut donc pas satisfaire à l'équation fo, —0f,— 0 en prenant pour uw et # des fonctions qui s’annulent pour =Yy—2:— 0.
