Formule de Lagrange. — Soit

(49) J=a+xo(y)

une équation où la fonction @(y) est développable en série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de y — a, tant que la valeur

Es Le 31

absolue de y — a ne dépasse pas une certaine limite,

Cent o,

( p(Y)=v(a)+(y—a)e(a)+— p'(a) ES

FN d’après le théorème général du n° 193, cette équation admet une racine, et une seule, qui tend vers a lorsque x tend vers zéro, et cette racine est représentée, pour les valeurs de æ suffisamment petites, par la somme d’une série entière convergente

V= A +AT + GsT +.

Plus généralement, si f(y) est une fonction développable suivant les puissances positives de y — a, après y avoir remplacé y par le développement précédent, on aura pour f(y) un développement ordonné suivant les puissances de +, qui sera encore valable pour les valeurs de x comprises entre certaines limites, |

(50) f(Y) = f(a) + Ait + Aomi+.. LA,

Le but de la formule de Lagrange est précisément de donner l’expression des coefficients A:, A:, ..., A», ..., en fonction de a. Remarquons que ce problème n'est pas essentiellement distinct du problème général; le coefficient À, est, au facteur n ! près, la dérivée nième, pour æ=0, de f(y), J étant définie par l'équation (49), et cette dérivée peut être calculée par l'application des règles connues. Le calcul paraît compliqué, mais on l’abrège beaucoup, grâce aux remarques suivantes de Laplace. Les dérivées partielles de la fonction y définie par l'équation (49), par rapport aux variables + el a, sont données par les formules

Ô 0) Der =eu) Des ONE =;

on en déduit immédiatement la relation

ou ou (51) An Da

en posant u — f(y). D'autre part, F(y) étant une fonction quelconque de y, on vérifie Immédiatement par la différentiation que l’on a

(5rbis) lrne]-sfrosl.

car chacune des dérivées déveluppées a pour expression

Re et VMC. du OT AT EE AA ANNEE

Cela posé, nous allons montrer qu’on a, quel que soit le nombre entier n»,

our: o—1 n 4 dx — dant PC) =

La loi est vraie pour nr —1, d'après la formule (51); pour établir qu’elle est générale, supposons-la établie pour une certaine valeur de nr. On en déduit

on+iu on tou

dxr+1 Fÿ da-10x [20 | F

Mais on peut écrire, en utilisant les relations (5r) et (51/5),

0 d d ou ! JU r\n +1 ° alors] feuré]-2feors dl on a donc bien

d2+1 7 oo” nr 94 ou et aan 0e

et la formule est vraie pour toute valeur de n. Supposons maintenant æ = 0; y se réduit à a, u à f(a)et la dérivée nième de w par rapport à x devient

(En), = tetes (a)

La formule de Taylor nous donne donc pour le développement de f(y)

(52) f(r) se FE Tir

xt dn-

nn —Le(ay f'(a)] +.

Éfeta}f'(a)] re

Ta

Telle est la formule célèbre due à Lagrange; elle donne l’expression de la racine y qui tend vers a lorsque x tend vers zéro. Nous verrons plus tard entre quelles limites cette formule est applicable.

Remarque. — Il résulte aussi du théorème général que la racine y, considérée comme fonction de æ et de a, peut être représentée par une série double ordonnée suivant les puissances de x et de a. On obtiendrait cette série double en remplaçant chacun des coefficients A, par son développement suivant les puissances de a. On déduit de là qu’il est permis de différentier terme à terme la série (52) par rapport au paramètre a.

Exemples. — 1° L’équation

admet une racine égale à a pour æ — 0. La formule de Lagrange donne

pour le développement de cette racine

LA 1 /æ\? d(a?— 1}?

54 = ar (ar) + —|- |) ———— +...

(54) 4 4 ) (2) da É 1 T\ nm dn-1(a2— 1)" de \ ton :) dan—1 ane

d'autre part, en résolvant l’équation (53), on a pour expression des racines

I —————————…—…—…—…——— = HE =Vi—raz+a,

æ et, pour avoir la racine égale à a pour x = 0, il faut prendre le signe —. En différentiant par rapport à la variable a les deux membres de l’équation (54), on parvient à une formule qui ne diffère que par les notations de la formule (32) obtenue plus haut (n° 189).

2° L’équation de Képler

(55) u—=a+esinu

admet la racine u = a pour e — 0. La formule de Lagrange donne pour le développement de la racine qui tend vers a

et dn-1(sin” a) RL dan-1

. À Dar be Es (56) u—=a+esina+— —-(sin?a) +.,.+ Re 1.2 da Laplace a démontré le premier, par une analyse savante, que la série précédente est convergente pourvu que e soit inférieur à la limite 0,662743....