Inversion. — Soit

(97) V'= CAT Ya D 0 ET On LENS

une série convergente dans l'intervalle (— 7, + r), où le premier coefficient a; n’est pas nul. Si l’on considère dans l'équation (57) y comme la variable indépendante, et æ comme une fonction de y, cette équation admet, d’après le théorème général (n° 193), une racine et une seule qui tend vers zéro avec y, et cette racine est développable en série ordonnée suivant les puissances de y

(58) x = by + bay? + b3yi+.. + by yr +...

Les coefficients b1, d2, ba, ... se déterminent aisément de proche en proche en remplaçant x par son développement dans la formule (57) et écrivant qu’on a une identité. On trouve ainsi

on peut aussi obtenir l'expression générale des coefficients b, au moyen de la formule de Lagrange. Si l’on pose en effet

V(T)=G+aTt+...+ ant l+..., l'équation (57) peut s’écrire