DÉFINITIONS. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES
La démonstration ne suppose pas que les dérivées f, et f, soient continues. Elle renferme deux nombres indéterminés 4 et 0. On peut la remplacer par une formule du même genre ne renfermant qu’un facteur 4 (!). Supposons que x, y, h, aient des valeurs déterminées, et soit © (£) la fonction auxiliaire
pt) = f(x + ht, y +k)+ f(x, y +)
de la variable £. On a évidemment
f(&+h,y+k)— f(x, y)=e(41)—#9(0)=#%"(0), OU el
ou
(9) FPS TN TA CR à) = hfh(e +M8h, y +R) + f,(e, y +868).
Les formules (8) et (9) sont analogues à la formule de la moyenne (2) et elles peuvent évidemment s'étendre aux fonctions d'un nombre quelconque de variables.
Lorsque les dérivées partielles f, et f; sont continues, on peut encore écrire l'accroissement de f sous la forme
(Go) f(æ+h,y+k)—f(x,y)= RTS y)+e]+4[f,(e, 7) +6,
e et e/ tendant vers zéro en même temps que et Æ. Cette expression de la différence f(x + h,y + k)— f(x,7) estsouvent uule; elle a servi en Algèbre pour établir la règle qui donne la dérivée d’une fonction composée.
Remarque. — Il ne suffit pas que la fonction f(x, y) admette des dérivées partielles pour que l'accroissement de f puisse se mettre sous la LY RE Va?+ y?
lorsque æ et y ne sont pas nuls à la fois, et égale à zéro pour æ = y — 0.
Cette fonction est continue, même pour l’origine, et les dérivées partielles f,, f; ont des valeurs finies pour tout système de valeurs den vret de y. On a en particulier
Jr(æ, 0)=0, fr;(0,7)=0,
forme (10). Considérons par exemple la fonction f(x, y) =
puisque la fonction (+, y) est nulle sur chacun des axes. La formule (10) ne s'applique pas à cette fonction pour x =y = 0, car elle donnerait
(11) PORNKR) = he + Ke,
- ({) Je dois cette remarque à M. Hedrick.
€ et & étant infiniment petits en même temps que * et Æ. Or, si l’on
fait £—h,ona f(h, h) — êt non pas An, n étant infiniment petit.
21. Plan tangent à une surface. De même que la dérivée d’une fonction d’une seule variable donne la tangente à une courbe, les dérivées partielles d’une fonction de deux variables
interviennent dans la recherche du plan tangent à une surface. Soit
l'équation d’une surface S: nous supposons que la fonction F est continue et admet des dérivées parüelles continues en un point (Go; Yo) du plan des æy, auquel correspond la valeur z, pour set un point M,(xo, Yo, 30) de la surface S. Considérons une courbe quelconque C située sur la surface et passant au point M,,et soient
(13) BE J{t), RENNES
les coordonnées d'un point de cette courbe exprimées en fonction d’un paramètre variable t; ft), g(t), Ÿ(t) sont trois fonctions continues du paramètre # qui se réduisent respectivement à æs, Jo; 40 pour une valeur particulière £, de t. La tangente à cette courbe au point M, est représentée par les équations (n° 14)
#4 X— x, Y— y, ZL — 3
FC) 7 go) VC)
D'autre part, puisque la courbe C est située sur la surface S, on a la relation
AC REA INTTERS
qui doit être vérifiée, quel que soit &. Les deux membres doivent donc être identiques; prenons la dérivée du second membre
d’après la règle qui donne la dérivée d’une fonction composée, et faisons t — 4,. Il vient
(15) Vo) = Ft) Fr, +9 (0).
Entre les équations (14)et (15) on peut éliminer f!(4,), D'AAe (to), et le résultat de l'élimination est
(16) Lt = (X 20) Fr, + (Y— 0) F4:
celle équation représente un plan, qui est le lieu des tangentes à
