V. — SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. — SÉRIES DE POLYNOMES
très petit ; nous pouvons écrire
Sin 27 sin2T J — f PE) de + f D(T)———— dx.
É T cc É T
La seconde intégrale, nous venons de le voir, tend vers zéro lorsque »? augmente indéfiniment. Quant à la première, si le nombre © est suffisamment petit, la fonction o(x) diffère très peu de #(-0) dans l'intervalle (0, c), et il semble assez probable que cette intégrale doit avoir la même limite que l'inté-
sin nr \ grale / o (+o) : dx, c'est-à-dire = o(+o). Pour transformer À 2
cette induction en une démonstration rigoureuse, écrivons la différence comme il suit
a C ne - J—e(+o) = #t-0)( f M de ©) s Jr
Le (etat ete a Pr + f# PELLE er
La fonction o (x) — 9 (+0) étant décroissante dans l'intervalle (oser nous écrirons la seconde intégrale
Sin 2
dx + ( [o(r)—0(c)] ———— dr
c we # lot ete o)] 2e
la fonction o(x) — #(c) étant positive et décroissante, nous pouvons appliquer le second théorème de la moyenne à la nouvelle intégrale, et l’on a en définitive
[tte
On a de même
y(+ 0)| <2A[vo(+<o)—vw(c)].
sinnrT dx
| [# RE de | < 2900.
nc
Soit maintenant € un nombre positif arbitraire. Puisque o(x\ a l À
pour limite o(+ 0) lorsque x tend vers zéro, choisissons pourcun
nombre positif assez petit pour que l’on ait
Col
2 A[p(+o)—ce(c)] <
CR
Le nombre € ayant été choisi de cette façon, choisissons un nombre
2w(c) Ne
. . € entier N tel que lon ait =, ettel, en outre, que, pour toute J
valeur de nZ2N, on ait
LEP Sin 2€ TH f'sune 5 æ 2
