DÉFINITIONS. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES
toutes les courbes situées sur la surface et passant au point M,. On l’appelle le plan Langent à la surface. (Cf. Exerc. 18.)
ET 99, Passage des différences âux dérivées. — On a défini les dérivées de proche en proche, les, dérivées d’ordre n» se déduisant des dérivées d'ordre ñn— 1, et ainsi de suite. Il est naturel de se demander si l’on ne pourrait pas définir directement une dérivée partielle d’ordre n comme limite d’un quotient, sans passer par l'intermédiaire des dérivées d'ordre inférieur à ». Nous avons fait quelque chose de ce genre pour fr, (voir
n° 20), car la démonstration donnée plus haut prouve que Je, est la limite du rapport
J(æ + Az, y +Ay)—f(x+Ax, y)— f(x, y+Ay)+f(æ, y) AWA Ay
lorsque Ax et Ay tendent tous les deux vers zéro. On démontre de la même façon que f?: est la limite du rapport
J(x+hi+h:)— f(x + h:) — f(x + he) + f(x) hi ho À
lorsque À; et h2 tendent l’un et l’autre vers zéro. Si l’on pose, en effet,
fi(æ)=f(r+h)— f(x), ce rapport peut s’écrire fiC@ + ha) = PC) Pie +0h) ge hi Ro h ou encore
our, o<#<r.
La limite de ce rapport est donc la dérivée seconde f”,, pourvu que cette dérivée soit continue.
Passons maintenant au cas général. Soit, pour fixer les idées,
wo = f(x, y, z)
une fonction de trois variables indépendantes. Nous poserons
Afw=f(x+h,7, z)— f(x, 7; Z),
AF = f(x, nt Er k, 3)— f (+, ve 3),
A£ w = f(x, 7, 2+l)—/f(æ, 7, z); A%w, Afw, Alw sont les différences premières de w. Si l’on considère h, Æ, l comme des constantes données, ces trois différences premières sont elles-mêmes des fonctions de x, y, z dont on peut prendre les différences
(EAN à 4
relatives à des accroissements A1, #1, 1 des variables, et l’on a apnst les différences secondes Al1A%w, Al AËw, .... Lé procédé peut se continuer indéfiniment; une différence d’ ordre nise rs comme une différence première d’une différence d'ordre nr — 1. Comme on peut intervertir l’ordre de deux quelconques des opérations précédentes, il suffira d'indiquer les accroissements successifs attribués à chaque variable. Une différence d'ordre x sera représentée par un symbole tel que le suivant :
AG) — A AR... APP AM... AS AZ. AT f(&,ÿ%) où pP+q+rT=n,
les accroissements h;, k;, l; pouvant être égaux ou inégaux. Gette différence peut s'exprimer au moyen d'une dérivée partielle d'ordre »; elle est … égale au produit Fa er hhkK1 FA Kat He LA >
M L'EAU r(æ +0; Ra +. +0)h, y +0: ki +. nur, aka) 201 PE nn, 2) tous les 0; étant compris entre o et 1. La formule a déjà été établie pour
les différences premières et secondes. Pour démbntrer qu’elle est générale, admettons qu’elle est exacte pour une différence d'ordre n —1, et soit
O(T, Y, Z) = AP MALE AËp A: res Aÿa A Le AFS on aura, par hypothèse, w(T, y, Z)= ho hhki es KE e Ler(& + Bah +. + Op hp; Y +.) Mais la différence nième considérée est égale à (ET + hi, V,Z)—9%(x, ÿ, 2),
et il suffit d'appliquer de nouveau la formule des accroissements finis à cette différence pour parvenir à la formule qu'on voulait démontrer. Inversement, la dérivée partielle f/7/.r est la limite du rapport
ANS PT RAD, 17 AA. APFAN VANAR REA hihi OR A RON
lorsque tous les accroissements À, #, { tendent vers zéro.
Il est intéressant de remarquer que cette définition des dérivées par= tielles d'ordre supérieur est quelquefois plus étendue que la définition ordinaire. Considérons, par exemple, la fonction |
où les fonctions o(æ) et L(y) n’admettent pas de dérivée. La fonction w n’admet pas non plus de dérivées partielles du premier ordre; il n’y a donc pas lieu a fortiori de parler des dérivées partielles du second ordre. Ge= pendant, si l’on adoptait la nouvelle définition, on serait conduit, pour
I. — DÉFINITIONS. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES. 51 trouver f#7, à chercher la limite du rapport JR y HR) f(z+h y) — f(x, y +R + f(x, y) TR JT RE PJ As)
hk qui est égal à
PTR)EUY HE) pr +h)—Uy)—pr)—V(r+k)+o(r)+ by :
hk
Le numérateur de ce rapport est toujours nul: il a donc zéro pour limite, « x Ld :— À Il pere 4 et nous sommes conduits à écrire fz,— 0 (1).
23. Théorème de Schwarz. — On peut rattacher à cet ordre d'idées une proposition intéressante due à M. Schwarz, qui est utilisée dans l’étude des séries trigonométriques :
Si f(x) est une fonction continue dans un intervalle (a, b)et telle qu'on ait, pour toute valeur de x dans cet intervalle,
re J(xz+a)+f(æ—a)—2f(x) re
J(æ) est une fonction linéaire de x.
La proposition serait évidente si l’on admettait que f(x) possède une dérivée du premier ordre et une dérivée du second ordre dans l’intervalle (a, b), mais nous devons écarter cette hypothèse, La fonction linéaire
f(a)+ TL (6) — f(a)]
est égale à la fonction f(x) pour + = à et pour x = b. Si f(x) n’est pas une fonction linéaire, la différence
