SUD

où & el b sont deux nombres positifs inférieurs à 7, et f(x) une fonction monotone dans l’intervalle (a, b), tend vers zéro ;

3° Enfin, qu'on a

(78) un f v AURAS = (+0) (Oo, mer),

sin ©

pourvu que l'intervalle (0. À puisse être décomposé en un nombre Î | - | (|

502 CHAPITRE IX. — SÉRIES ENTIÈRES. — SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. fini d’intervalles partiels dans chacun desquels la fonction f(x) est

monotone.

203. Fonctions développables en série de Fourier. — Soil f(x) une fonction bornée intégrable, dans l’intervalle de — x à +. Nous avons trouvé plus haut l’expression de la somme S,»,, des 27n + 1 premiers termes de la série de Fourier correspondante | formule (54)]. Partageons cette intégrale en deux autres, ayant

; APTE KT — TX TT die 0) respectivement pour hmites o et TITLES et o, et posons dans la seconde y — — z; nous pouvons encore écrire

TP à : a 9 . ( D à I 1 SsIn(27 +1)y 7 an dt Rtet CH DV) dà (79) 2m+1 sl sa Pr ne 5 à "il, Lu br + 2 . / l SIn(2n +1)z + — [l JL — 03) ——————— dz.

Fr J, SIN Z

Si æ est compris entre — r et + 7, les deux limites supérieures de ces intégrales sont comprises entre o et 7, et l’on peut leur appliquer le théorème du paragraphe précédent, pourvu que la fonction f(x) vérifie la première condition de Dirichlet, c'est-à-dire pourvu qu'on puisse décomposer l'intervalle de — + à + r en un nombre fini d’intervalles dans chacun desquels la fonction est monotone. Il en est alors de même de la fonc-

! : ' RE Li ion f(æ +27) de y dans l'intervalle (o, ) et la première

intégrale a pour limite TRUE Fo = RACE Four

Q ' A . . LOS La seconde intégrale a de même pour limite - f(x — 0), et, par Le 9e

\ K FE (æ+o)+ f(x — 0 suite, D 2 m4 a pour Hp rn lamt lé

Supposons ensuite que æ est égal à l’une des limites, —7 par exemple. On peut écrire

sIN(2n +1)y

: 1 S 2 n+1 = CR ï J(—r+27) dy:

Sin y

J ) sin(2n +1) à Le FC pu ay) POSTERS RE) sin y