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mais cette hypothèse n’est que la conséquence logique de celle qui a été faite sur la nature des points de discontinuité. En effet, si, au lieu de considérer x comme une longueur portée sur une droite, on considère x comme un arc porté sur la circonférence de rayon wn, la somme de la série en un point quelconque m de la circonférence est la moyenne arithmétique des deux limites vers lesquelles tendent les deux sommes de la série en deux points m/, m' de la circonférence, pris de part et d'autre du

point », lorsque ces points m/, m" se rapprochent indéfiniment du point m». Si les deux valeurs limites f(— r +0), f(r—0) sont différentes, le point de la circonférence diamétralement opposé à l’origine des ares est un point de discontinuité, et la valeur de la fonction en ce point est aussi la moyenne arithmé- T+o),f(r—o).

D'une façon générale, soit f(x) une fonction définie dans un intervalle (4, à + 27) d’étendue 27, et satisfaisant aux conditions de Dirichlet. Il existe évidemment une fonction F(x), et une seule, admettant la période 2x et coïncidant avec f(x) dans l’intervalle (4, + 27); celte fonction F(zx) esl représentée, pour toute valeur de x, par la somme d’une série trigonométrique dont

les coefficients «&,, et bn sont donnés par les formules (53)

SU 27 I I S Am= = Î F(r)cosmTar, bn = - Î F(æ)sinmzx dæ.

, se

ee mA 19 Y—îm

Le coefficient «a. par exemple, peut encore s'écrire

TH Peel F(x) cosmx dx += AR F(x)cosmax dx