LE 4 TT
" T ï X+2T = — “b F(x)cosmadr + 1d F(xr)cosmrde ES 4
UT j X+27T . X+2T Es 1 F(æ)tosmrdr =" L f(x)cosmx dx.
On trouverait de même, pour le coefficient b,,,
I X+—27T bn = — [ f(æ)sinmax dx.
e/ [Lo 4
Lorsqu'une fonction f(x) est donnée dans un intervalle quelconque d’étendue 27, les formules précédentes permettent de calculer les coefficients du développement en série de Fourier,
, . F : . . . ,° A sans qu'il soit nécessaire de ramener les limites de l'intervalle à
être — Tet + x.
204. Exemples. — 1° Proposons-nous de trouver une série de Fo dont la somme soit égale à — 1 pour æ compris entre — + et o et à +1
V. — SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. -— SÉRIES DE POLYNOMES. 509 pour æ compris entre o et x. Les formules (+3) nous donnent
us I Il as == f —dr+: f do, Tr Fr Vo
0 ur I l dun = — — Cosnmx dr + — CUOSTRE AG = 0, Te Ca 1 0 0 TC :
I ï l é 2— COST — COS(— MNT) Me — — sinmx dr — — sinmæ dr — E TU x TS} mT b,, est nul si » est pair, et égal à —— si m est impair. En multipliant tous mT ; T | RE les coefficients par >; on voit que la série ÿ SIN Sins Sin(2 +i)r (80) Pa © +...
I 5 2M + I LE | Ti a pour somme ——, si æ est compris entre — x et o, et + siæ est 4 4
compris entre o et r. Le point x —o est un point de discontinuité, et, pour æ — 0, la somme de la série est o, comme cela doit être. D’une facon
la
générale, la somme de la série (80) est égale à = lorsque sin est positif,
\ T . , . « > à F7 lorsque sinx est négatif, et à o lorsque sinx — 0.
La courbe représentée par l'équation (80) se compose d’une infinité de É N MANS segments de droite de longueur x sur les parallèles y = + — à l’axe des >, et d’une infinité de points isolés (y = 0, æ = 7) sur l’axe des x. ..2° Soit à trouver le développement de x en série de Fourier dans l’intervalle de o à 27. On a
