T A = — PO DT, T

2T NE i æ Ssinmnx |?T I :

An = — ACOSME AT = — | — — sin/2æx dx = 0,

(a TITTE n NT 9 27 27

I : æcosmr |?T I ) = Æ æ Sin max dx RL + ——— COS M € AT = — —»%

T mT 0 MT m

+ 0 0 On déduit de là la formule * re sinæ sin2v sin37 (81) —— —— Rs Es 2 2 I 2 9

qui est exacte pour toutes les valeurs de x comprises entre o et 27. Si l'on remplace, dans la formule précédente, le premier membre par y, la

courbe représentée par léquation obtenue se compose d'une infinité de

segments de droites parallèles à la droite y = — et d’une infinité de pots 2 à

isolés.

Remarques.— 1° Lorsqu'une fonction définie dans l'intervalle (—7T,+%) est paire, c’est-à-dire telle que f(— x) = f(x), tous les coefficients b,, sont

nuls. car on a évidemment

0 Te 1 f{r)sinmrdz =— ( f(x) sinmax dx.

CEE, 0

Au contraire, si la fonction f(æ) est impaire, c'est-à-dire telle que f(— zx) =— f(x), tous les coefficients &,, sont nuls, y compris &9. Une - fonction f(x) étant définie dans l'intervalle de o à x seulement, on peut la prolonger dans l'intervalle de — x à o en convenant de poser

IS EYES) ou f(— x) =— f(x).

La fonction f(æ) peut donc être représentée soit par une série de sinus, soit par une série de cosinus, dans l'intervalle de o à 7.

2° Soit f(x) une fonction développable en série de Fourier dans l’intervalle (— 7x. +T)

(85) pr (a; cosæ+b,sinr)+...+ (an cosmr+b,sinmr) "4

les coefficients &;, b; étant donnés par les formules (55). Si l’on change > en — x dans cette relation, il vient

C3 L V4 Œo LA La (83) f—x)-= —+(acosx —bisinr)+...+(ancosmr—b,;sinmmar)+ De ces deux égalités on conclut que les deux séries trigonométriques

&o — di COST ER Tr (An COS CEE #

b, sinTr +... +6, Sinmz +

sont convergentes dans l'intervalle (— 7, + 7x) et représentent respective= ment les deux fonctions

f(x) docs æ) ose f(x) mel. ee

on vérifie aisément que ce sont précisément les séries de Fourier relatives à ces deux fonctions.

205. Extensions diverses. — Les conditions de Dirichlet sont seule= ment des conditions suffisantes pour qu’une fonction soit développable-en

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