V. — SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. — SÉRIES DE POLYNOMES
série de Fourier, maïs elles ne sont nullement nécessaires. Les raisonnements des n° 202-203 permettent de remplacer ces conditions par des conditions plus étendues,
Soit f(æ) une fonction à variation bornée dans l'intervalle(— 7, +7); nous savons qu'elle est égale à la somme de deux fonctions monotones f(x), fa(æ). dans le même intervalle (n° 41). Soient S(x), Si(æ), S2(æ) les séries de Fourier déduites des trois fonctions f(x), fi(æ), fatæ). D'après ce qu'on a vu plus haut, les deux séries Si(æ), Ss(æ) sont convergentes dans l’intervalle (— +, ++) et, pour tout point intérieur à cet intervalle, on a
Jitx +o)+ f(x —0o) REUEER f(x +0)+ f(x — 0).
Ditr)—
d'autre part, un terme quelconque de S(x) est égal à la somme des deux termes correspondants de S; et de S,. La série de S(æ) est donc aussi convergente et a pour somme Si(æx)+ S2(æ), c'est-à-dire
fitr+o)+ fa(x + 0) +. f(x — 0) + fo(æ — 0) J(æ+o)+f(æ@—or 2 ; 2
Donc, toute fonction f(x) à variation bornée dans l'intervalle (—7,+7) donne naissance à une série de Fourier convergente dont la somme est f(x+o)+ f(x — 0)
égale à » pour toute valeur de x comprise entre —7T
et +7. On voit de la même façon que, pour æ = + Tr, la somme de la série est égale à CES a a à TRE .
Si, en outre, la fonction f(æ) n’a que des points de discontinuité réguliers dans cet intervalle, la série de Fourier à pour somme f(x) pour toute valeur de æ comprise entre — 7 et + x.
Le procédé employé au n° 201 pour calculer les coefficients d’une série de Fourier est susceptible d’une grande extension. Considérons une série de fonctions orthogonales dans un intervalle (a, b)
DD PL OS EN On; QE
b cest-à-dire telles que lon ait Î abri A 0NIUEIS QUeSOIEnLElES e/ «
indices m et 7 supposés différents. Si une fonction est supposée développable en une série uniformément convergente de la forme
(A) Agoo + Ari +... AO, ES. .,
dans l'intervalle («, b), les coefficients constants A; se déterminent immédiatement. Multiplions, en effet, les deux membres de la relation précédente par ®,, et intégrons entre les limites «a et b; il vient, en tenant
compte des relations qui expriment l’orthogonalité,
b b fÉ TP) DA (EN dr Une vo? dx, e a L
UE
d’où l’on tire la valeur du coefficient A,. Dans chaque cas particulier, il reste à examiner si la série ainsi obtenue est convergente et a pour somme f(x).
Les polynomes de Legendre (n° 90) forment une suite de fonctions orthogonales dans l’intervalle (— 1, +1). Pour pouvoir caleuler les coef=
ficients du développement d’une fonction suivant ces polynomes, il faut +1 encore connaître les valeurs numériques des intégrales K, — X? de + ie Soit a, le coefficient de x* dans X, : en tenant compte des relations (27) et (28) (p. 213), on peut écrire
ri
[ X dr = ji anz"Xn dx — 1 a, gn-1 LIEN ERRRRSESS CE | CERF | 27 M 2n +I
an +] ; Mais on a aussi +1 +1 f TE ana Î DTA Xe Pt 1 Ê ! : se ; ? NA n ; ue et, par suile, le rapport — est égal à ——, c'est-à-dire Na (2Rn +1) an-1
. 2R—I AE à ———: On en conclut que le produit (an +1)K, est indépendant . 2Rn+I
de n. Or, pour 7 = 0, on trouve aussitôt Ko = 2; le coefficient K, est donc égal à ————.
206. Développement d’une fonction continue. Théorème de Weier- Strass. — Soit y — f(x) une fonction continue dans un intervalle (a, b). On doit à M. Weierstrass une proposition remarquable dont voici l'énoncé: e élant un nombre positif donné à l'avance, on peut déterminer un polynome P(x) tel que la différence f(x) — P(x) soit inférieure à & en valeur absolue pour toute valeur de x dans l'intervalle (a, b).
Parmi les nombreuses démonstrations proposées pour ce théorème, une des plus simples est due à M. Lebesgue (1). Considérons d’abord le cas particulier suivant. Soit L(æ)\ une fonction continue dans l'intervalle de —1 à +1, définie de la manière suivante : pour —1£x£o, on a V(æ) = 0, et
(*) Bulletin des Sciences mathématiques, 1898, p. 278.
