V. — SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. — SÉRIES DE POLYNOMES

pour o=æ=1, on a L(æx) = 2kx, À étant un facteur constant donné. Nous pouvons écrire Y(x) = k[x+|x|]. D'autre part, pour les valeurs de x comprises entre — 1 et +1i,ona

frl=vyi-(— 2!),

el, pour ces mêmes valeurs de x, le radical peut être développé en série untformément convergente (1) ordonnée suivant les puissances de (1— x?) ; |æ |, et par suite Ÿ(x), peut donc être représentée dans cet intervalle, avec telle approximation qu’on voudra, par un polynome. Prenons maintenant une fonction quelconque continue dans l'intervalle (a, b) et imaginons cet intervalle décomposé en n intervalles partiels (@s, &1), (@1, &), ..., Rd) ot a = ap qu <<. <an< an = 0, de façon que

l’oscillation de f(x) dans chacun de ces intervalles soit moindre que

Soit L la ligne brisée obtenue en joignant de proche en proche les points de la courbe y — f(x) d’abscisses &o, @1, &2, ..., b. L'ordonnée d’un point de cette ligne brisée est évidemment une fonction continue de l’abscisse g(æ) et la différence f(x) — o(x) est en valeur absolue moindre

[si que = En effet, dans l'intervalle (44,1, ay), par exemple, on peut écrire

J(æ)— (x) = [f(e) — fau) 01 + Lx) —fCau)10,

Où + — ay-1 = 0(ay — ay-1). Le facteur 0 étant positif et inférieur à l'unité,

| om