LD CR RO

Cette fonction ®(æ) peut être décomposée en une somme de x fonctions analogues à la fonction L(æx) de tout à l'heure. Soient, en eflet, A5, A1, A», ..., An les sommets consécutifs de la ligne polygonale L; 9(x) est égale à la fonction continue 4, représentée dans l'intervalle (a, b) par la droite qui porte le côté A, A1, plus une fonction +, représentée par une ligne polygonale A’, A ... A’, dont le premier côté A A! est sur l'axe O x: w1(æ) est à son tour la somme de deux fonctions continues d, et w dont

la première, VW, est nulle entre a et a, et est représentée par la droite qui

porte A’ A, entre a, et b, tandis que w, est représentée par une ligne

polygonale A A A ...A", dont les sommets A, A, A, sont sur Ox. On arrive finalement à remplacer w(x) par une somme de x fonctions @—=di+d+...+1%,,où V;est une fonction continue nulle entre æet a;, représentée par un segment de droite entre &;, et b. Si l’on fait le chan-

gement de variable X — px + gq, en choisissant convenablement p et g,

(!) En effet, æ étant compris entre —1 et +1, la valeur absolue du terme

énéral est au plus égale à LS et os P : 2.0 12n

convergente, d’après la règle de Duhamel.

» qui est le terme général d’une série

310 CHAPITRE IXe — SÉRIES ENTIÈRES. — SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES.

vi sera défini dans l'intervalle (— 1, +1) par l'égalité

W=k[X+IX|]

el, par conséquent, pourra être représentée par un polynome avec telle approximation qu’on voudra. Chacune des fonctions l; pouvant être représentée par un polynome dans l'intervalle (a, b) avec une approximation inférieure à ne il est clair que la somme de ces polynomes différera de f(æ) de moins de 2.

De ce théorème on déduit que toute fonction continue dans un intersalle (a, b) peut ètre représentée par une série uniformément conver-gente de polynomes dans cet intervalle. Prenons, en effet, une suite de nombres positifs décroissants €,, ©, .+.s ©ns +.., le terme générale, tendant vers zéro lorsque 7 augmente indéfiniment. D'après le théorème précédent, à chaque nombre :; de cette suite nous pouvons faire correspondre un polynome P;(x) tel que la différence f(x) — P;(x) soit inférieure en valeur absolue à 2; dans tout l'intervalle (4, D). Cela étant, la série

Pift) + EPa(æ) = Pia) +. + [Pi (a) PCT

est convergente el a pour somme f(x). lorsque + reste compris dans l'intervalle (a, b). Il est clair, en effet, que la somme S, des n premiers termes est égale à P,(x); la différence f(æ) —S, qui est inférieure en valeur absolue à &, tend donc vers zéro lorsque nr croît indéfiniment. La convergence est uniforme, car si l'on a choisi m assez grand pour qu’on ait Em LE, on aura aussi |f(æ) —S,1& £, pourvu que 7 soit égal ou supérieur à 7.

l. Appliquer la formule de Lagrange au développement, suivant les puissances de +, de la racine de l'équation J°= ay + x qui est égale à & DOUTE — 0,