Démontrer les formules suivantes

sin( 7 arc Cosæ).

log(x +2) = 2log(x +1) —2 log(æ—1)+ log(æ — 2)

2 I ( 2 RQ ———— + = ——— Li — 5x 3 \ wi —<

(Série de Borda.)

= (— | +., Ti— 37

512 CHAPITRE IX. — SÉRIES ENTIÈRES. — SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. ét

log(r +5)= log(x + 1i)+log(x +3) — 2 logx

+ log(x — 3) + log(æ — 4) — log(x — 5)

( 72. U 72 3 nid ne me | É-e Eee Gt — 25? + 72 3 \rt— 55x49

(Série de Haro.) :

10°. Une fonction f(x), continue dans un intervalle (a, b), et telle b

qu'on ait [| æ" f(x) dx = 0, pour nr =0, 1, 2, . “estudentiquemens «a nulle.

R. On suppose f(x) développée en série uniformément convergente de b polynomes, et l’on en déduit que lintégrale É f(x) dx serait nulle. AT (MooRE.)

11". Une fonction continue différente de zéro ne peut avoir une série de Fourier identiquement nulle.

R. Supposons qu'on ait f(æ) > m > o dans un intervalle (&, b), a et b étant compris entre o et 27, et posons

a + bd = 20 VU = TE COST ET CO

On démontre que l'intégrale 1 J(æ) 4" dx ne peut être nulle quel Li (0) u

que soit n.

(Voir LEBESGUE, Leçons sur les séries trigonométriques, p. 37.)

On déduit de là que deux fonctions continues différentes ne peuvent avoir la même série de Fourier; par conséquent, si la série de Fourier déduite d’une fonction continue es est uniformément convergente, la somme de cette série est égale à f(x).

12". Calculer les coefficients de la série de Fourier pour une fonction

continue f(x), de période 27, représentée par une ligne brisée. Cettesérie

étant uniformément convergente, en déduire une nouvelle démonstration du théorème de Weierstrass du n° 206.

né

l’équation DV) a une tangente si la fonction TD FAUTE

dérivée f'(x) et ainsi de suite.