ARE

PC@) = f(x) — fa) — TL (E) — f(a)]

nest pas constamment nulle dans l'intervalle (a, b); supposons, par un get À () On peut faire des remarques analogues pour les fonctions d’une seule

variable. Par exemple, la fonction f(x) — x? cos — a pour dérivée ' 2 2 I Al NTHESE A cos — Jde sin—) et f'(æ) n’admet pas de dérivée pour æ = 0. Cependant, le rapport f(2@)—2f(a) +f(o) NE Ë,

I I ou GXCOS——- 1 24% 008 — 2 à d

a pour limite zéro lorsque à tend vers zéro.

exemple, qu’on ait w(c) > 0, c étant compris entre a et b. La fonction con-

tinue auxiliaire T se

Ye) = ft) — fa) PE) fta)1+ (8) 8)

est positive pour æ =c, pourvu qu'on prenne pour h un nombre assez petit. D'ailleurs cette fonction est nulle pour æ = & et pour # = biPene est donc maximum pour une valeur æ = +1 comprise entre & et bSOE cette fonction L(æ) satisfait, il est facile de le voir, à la condition

in VE) ENG) MES

Il s'ensuit qu’on ne peut avoir à la fois, pour «à assez pelit, Y(æi+a)—V(z1)£0, V(æi— a) —Y(m)20,

et par suite la fonction Y(æ) ne peut être maximum pour æ = 1. On est donc conduit à une contradiction en supposant que la différence g(x) n’est pas nulle eu tous les points de l'intervalle (a, b).

Ÿ II. — NOTATION DIVFÉRENTIELLE.

La notation différentielle, la plus ancienne des notations employées, est due à Leibniz. Quoiqu’elle ne soit pas indispensable, elle offre des avantages de symétrie dans les formules et de généralité qui sont très appréciables, surtout dans l'étude des fonctions de plusieurs variables. L'origine de cette notation se trouve dans la considération des infiniment petits.

24. Différentielles. — Soit y — f(x) une fonction continue admettant une dérivée f'(x); attribuons à x un avcroissement A?, et désignons par Ay l'accroissement correspondant de y. D'après

la définition même de la dérivée, on a | À AY fr — — DA)ISRCIE Aœ (co ?

e tendant vers zéro en même temps que Az; si l’on considère Ax comme l’infiniment petit principal, Ay est lui-même un infinr= ment petit dont la partie principale est f'(æ) Ax, pourvu que f(x) ne soit pas nul. C’est cette partie principale qu’on appelle la différentielle de y et qu’on représente par dy,

dy = f(x) 4x.