I. — COURBES ET SURFACES ENVELOPPES
(Sa.
bi NI
le plan, de coordonnées (#,, Yo), l'équation (8) HETDRAS a) = 9
admet en général m racines distinctes; il passe donc par ce point m courbes différentes de la famille considérée. Mais si le point M, appartient à la courbe R(x, y) —0, on a à la fois, pour une valeur de à,
of
F(Los Jos 4) = 0, PART NS
et l'équation (8) a une racine double. On peut donc dire que la courbe R(x, y) — 0 est le lieu des points du plan pour lesquels deux des courbes de la famille (1) qui y passent sont venues se confondre. Or les figures 34 (a) et 34 (b) montrent précisément
Fig. 34 a. Fig. 34 b.
que, lorsqu'un point se rapproche indéfiniment soit d’un point de l'enveloppe, soit d’un point de la courbe qui est le lieu des points singuliers, deux des courbes C qui passent par ce point diffèrent très peu l’une de l’autre et viennent se confondre à la limite.
Remarque. — Il arrive fréquemment que l'on a à chercher l’enveloppe d’une courbe (9) Car, 40) =0,
{ PUR ; AN +) ) r<
dont l'équation renferme deux paramètres variables «& et b, liés
par une relation o(a, b)—0o. Ce cas n’est pas distinct du cas général, car on peut considérer b comme une fonction de a définie
par la relation © — 0. D’après la règle établie, il faut joindre à Péquation (9) celle que l’on obtient en égalant à zéro la dérivée du premier membre par rapport au paramètre &
oF OF db
PL PAF à
mais de la relation © (a, b) — 0 on tire do do db … da 0h dr
, , . 3° . db et la formule précédente devient, en éliminant mn
0F do OF do / (10) A LÉ AE RER
On obüendra donc l'équation de l'enveloppe en éliminant «a et b entre les équations F— 0, © — 0, et l’équation précédente (10).
209. Enveloppe d’une droite. — Prenons l'équation d’une droite D sous la forme normale
(11) | æcosa + y sina— f(x) = 0,
le paramètre variable étant l’angle 4. En prenant la dérivée par rapport à ce paramètre, 1l vient st ve" | due) — xsina + y cosa— f'(a) = 0,
et l’on tire des deux équations (11) et (12) les coordonnées du point de contact de la droite mobile avec son enveloppe
(13) | æ = f(a)cosa— f'(a) sina,
y = f(a) sina + f'(a)cosa.
Il est facile de vérifier que la tangente à la courbe E décrite par ce point (æ, y) est la droite D; on tire en effet des équations (13)
(14) dy = [f(a) + f'(x)] cosax da,
et l’on voit que le coefficient angulaire de la tangente est — cota, ce quiest précisément le coefficient angulaire de la droite D. Des équations (14) on üre aussi, en appelant s l’arc de la courbe enveloppe,
ds = Vdx?+ dy?=Æ{f(a)+ f"(a)] da,
