I. — COURBES ET SURFACES ENVELOPPES

s=æ | (rie de +];

il suffira donc, pour avoir une courbe rectifiable, de prendre pour f(x) la dérivée d’une fonction connue (1). — 1"

Prenons, par exemple, f(x) = /sinacoszæ; en faisant successivement y = 0 et æ — 0 dans l'équation (11), il vient (73. 35) OA = !sina,

et, par conséquent,

OB = /cosa et, par suite, AB = /. La courbe cherchée est donc l’enveloppe d’une droite de longueur constante {, dont les extrémités décrivent deux droites rectangulaires. Les formules (13) deviennent ici L

x = lsina, y = l'cosia,

et l’équation de lenveloppe est

ce |L9

“(es

c'est une hypocycloïde à quatre rebroussements, qui à la forme indiquée

meer mteiememerpers mere

(1) Dans la formule qui donne l’are

mA La?

vi s= J'(a) + ff(a) da |

toutes les quantités qui figurent au second membre ont une signification géométrique : « est l’angle que fait avec Ox la perpendiculaire ON menée de l’origine sur la droite mobile, f(æ«) est la distance ON de l’origine à cette droite ; f'(æ)est, au signe près, la distance MN du point de contact de la droite mobile avec son enveloppe au pied N de la perpendiculaire abaïssée de l’origine. On appelle quelquefois cette formule de rectification la formule de Legendre.

sur la figure. Lorsque « varie de o à —, le point de contact décrit l'arc DC. :

La longueur de l'arc, compté à partir de D, a pour expression LATE YA s = 3 lsina cosx da — — sin?a.

Soient [ le sommet du rectangle construit sur OA et OB, et M le pied de la perpendiculaire abaissée du point I sur AB. Les triangles AMI, APM donnent successivement

AM = Alcosx = l'cos?a, AP = AM sina — / cos?a sin«x

et, par suite, OP = OA — AP = /sin3x, de sorte que le point M est le point de contact de la droite AB avec son enveloppe. On a ensuite

ge”

BM = / — AM — / sin? « in

1 3 et, par conséquent, arc DM — -BM.