I. — COURBES ET SURFACES ENVELOPPES

s étant l’arc de la courbe GC. Cette droite coupe le cercle en deux points N, N', symétriques par rapport à la tangente MT (3. 36); l'enveloppe se compose donc de deux branches E, E’, qui ne sont pas en général analyÿtiquement distinctes. Plusieurs cas particuliers sont à remarquer :

° Si p est constant, la corde des contacts NN'se réduit à la normale PP’ et l'enveloppe se compose des deux courbes parallèles C;, C:, obtenues en portant sur la normale à la courbe C, de part et d'autre du point M, la longueur constante p.

do :

2 Sip=s+C,onap 7. — p; la corde NN’ se réduit à la tangente au

cercle au point Q. Les deux branches de l’enveloppe sont confondues, et cette enveloppe T admet pour normales les tangentes à la courbe C; on dit que C est la développée de T', etinversement l'est une développante de G. Lorsque dp > ds, la droite (16) ne coupe plus le cercle, et l'enveloppe est imaginaire.

Caustiques secondaires. — Supposons que le rayon du cercle variable

wi Lt >

r LA AJ c ST

soit proportionnel à la distance du centre à un point fixe O. Si l’on prend ce point fixe pour origine, l'équation du cercle est

(æ— a} +(y—b}= k(a?+ b?), k étant un facteur constant, et la corde des contacts a pour équation (æ—a)a + (y — b)b+ Æ2(aa'+ bb') = 0.

Soient à et 0’ les distances du centre M(a, b) du cercle à la corde des contacts et à la parallèle menée par l’origine; on tire de l’équation précé— dente à — #29’. On obtiendra donc la corde des contacts en prenant sur le rayon MO un point P tel que MP — 4MO et abaissant du point P une perpendiculaire sur la tangente au lieu du centre. Supposons ES er soit E la branche de l’enveloppe du cercle qui est située du même côté que le point O par rapport à la tangente à la courbe C. Appelons tetr les

angles que font avec la normale MI les droites MO et MN ; on a (fig. 37) M p sini Mg MQ 1:

APR iInr = —— MO PE OO MN sine Mn CMP TRE

(\e . KR" a Et PA

Cela posé, imaginons que le point O soit un foyer lumineux et que la courbe C soit la limite de séparation entre le milieu où est le point O et un nouveau milieu dont l'indice de réfraction par rapport au premier soit égal à —. Après la Darius le rayon incident OM se change en un rayon

# A AT réfracté MR qui, d’ ‘apré la loi de la réfraction, est précisément le prolongement de NM. Tous les rayons réfractés MR sont donc normaux à l’enveloppe E, qu on appelle la caustique secondaire par réfraction. La caustique proprement ‘dite, enveloppe des rayons réfractés, est la développée de la caustique secondaire.

La seconde branche de l’enveloppe E’ n’a évidemment aucun sens physique; elle correspondrait à un indice de réfraction négatif. Si l’on suppose Æ — 1, l'enveloppe E se réduit au point O lui-même, tandis que l'enveloppe E' est le lieu des symétriques du point O par rapport aux tangentes de la courbe C. Cette courbe est aussi la caustique secondaire par réflexion pour les rayons lumineux issus du point O se réfléchissant sur la courbe C. On démontrera de la même façon que, si de chagne point d'une courbe C comme centre on décrit un cercle dont le rayon soit proportionnel à la distance du centre à une droite fixe, on obtient pour enveloppes les caustiques secondaires relativement aux rayons lumineux issus d’un foyer à l'infini.