II. — NOTATION DIFFÉRENTIELLE

Lorsque la fonction f(x) se réduit à +, la formule précédente se réduit à dx — Ax, et l’on écrit pour plus de symétrie

dy = f'(æ) dx,

mais en convenant de considérer l'accroissement dx de la variable

Fig. 3.

indépendante comme une quantité constante, d’ailleurs quelconque.

Considérons sur la courbe C, représentée par l'équation y —f(x), les deux points M et M' d’abscisses x et x + dx. Dans le triangle MTN on a

un NT = MN tang NMT = dxrf'(x);

NT représente donc la différentielle dy, tandis que Ay est égale à NM’. Il est visible sur la figure que la partie M'T est infiniment petite par rapport à NT, lorsque le point M' se rapproche indéfiniment du point M.

Les différentielles successives se définissent de proche en proche comme les dérivées successives. Ainsi l’on appelle différentielle du second ordre la différentielle de la différentielle du premier ordre, dx étant toujours considéré comme une constante,

et on la représente par &? y, dy = d(dy) =[f'(x) dx] dx = f(x) dx?.

On a de même pour la différentielle troisième By = d(dy) =[/f"(x) dx?] dx = f(x) dx?,

et ainsi de suite. D’une manière générale, la différentielle d'ordre n, qui se définitcommela différentielle de la différentielle d'ordre r—1,

“nid

54 CHAPITRE II. — DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES. a pour expression an y LE) dæn,

Les dérivées f\{2) UP RCE peuvent inversement s'exprimer au moyen des différentielles, et l’on a une nouvelle notation pour représenter les dérivées

ET re < dn y Ta” NN

À chaque règle pour calculer une dérivée correspond une règle pour calculer une différentielle. Arrétons-nous un moment sur le cas d’une fonction de fonction. Soit y = f(u), u étant une foncuon de la variable indépendante x; on a

Ja=f'(u)us, y A2 et, en multipliant les deux membres par dx, il vient Vi de = (UE

dy = f(u) du.

c’est-à-dire

La formule qui donne dy est donc la même que si w était la variable indépendante. C’est là un des avantages de la notation différentielle. Avec la notation des dérivées, on a deux formules différentes

Yr=f(&), Yz=f{(u)us,

pour représenter la dérivée de y par rapport à +, suivant que y est donné directement en fonction de +, ou que y dépend de + par l’intermédiaire d’une autre fonction w. Avec la notation différentielle, la même formule s'applique aux deux cas. Si y =f(u, », w) est une fonction composée, on a x > ur fu Me Pr fo à): Def et, en multipliant par dx, il vient Ja dx = ul dx fi + 0, dx fl + w!, dx 7 c'est-à-dire dy = fh du + fl dv + f, dw.

Ainsi

d(uv) = u de + + du, a(=) = du — u dus