I. — COURBES ET SURFACES ENVELOPPES
sont des fonctions de deux variables indépendantes vérifiant l'équation (19) et, entre leurs différentielles, on a la relation
URL Nr MU Nr Se D On RACE 0e et
pour que le plan tangent à la surface E soit identique au plan tangent à S, il faut et il suffit que l’on ait, entre les différenelles dx, dy, dz, la relation
condition qui devient, en tenant compte de la précédente,
oO (18) sa = 0)
On démontrera inversement, comme pour les courbes planes (n° 207), que la surface R(x, y, 3) — 0, obtenue par l'élimination du paramètre a entre les deux équations (17) et (18), représente soit l'enveloppe des surfaces S, soit le lieu des points singuliers. La caractéristique C représentée par les équations (17) et (18) est encore la position limite de la courbe d’intersection de la surface S avec une surface infiniment voisine de La même famille.
912. Surfaces à deux paramètres. — Considérons maintenant une équauion
(19) HAN ed) 10
qui représente des surfaces S dépendant de deux parametres & et b. Il n'existe pas en général de surface tangente à toutes les surfaces de cette famille tout le long d’une courbe; en etlet, si l’on établit entre les deux paramètres a et b une relation b—=4@(a), on a des surfaces ne dépendant plus que d’un parametre &, et la caractéristique est représentée par l'équation (19) jointe à l’'équaion
(20) D + Sete) =0.
Cette caractéristique dépend en général de +’ (a), de sorte que sur
chaque surface S il y a une infinité de caractéristiques; elles n’ensendrent donc pas une surface lorsque & et b varient. Nous allons chercher s’il existe une surface E touchant chacune des surfaces en un point seulement, ou en quelques points, et non tout le long d'une courbe. Si cette surface existe, les coordonnées (x, y, &) d’un point de contact de la surface S avec l’enveloppe E sont des fonctions des deux paramètres variables a et b qui satisfont à la relation (19) et dont les différenuelles dx, dy, dz vérilient par conséquent Ja relation
(21) La + Lay+ Has DRE TEE
Pour que la surface, lieu du point (x, y, 3), soit tangente à la
surface S, 1l fant encore que l’on ait
ul
relation qui devient, en tenant compte de la précédente,
D 9 da US RARE
Comme a et b sont deux variables indépendantes, 1l faudra que l’on ait à la fois, pour le point de contact,
(ab) — = 0, + = 0.
On obtiendra donc l'équation de l’enveloppe en éliminant & et b entre les trois relations (19) et (22). Le raisonnement prouve bien que la surface ainsi trouvée est tangente à lasurface S, sauf st l’on a à la fois, pour les solutions communes aux équations (19 et(22),
CRC ROLE 0 E Dr UD de 0
cette surface est donc soit l'enveloppe, soit le lieu des points singuliers des surfaces S.
Nous avons donc, en définitive, deux espèces de surfaces enveloppes, suivant que les surfaces enveloppées dépendent de un ou deux paramètres. Par exemple, le plan tangent à une sphère ou à un hyperboloïde dépend de deux paramètres, et ce plan touche la
