I. — COURBES ET SURFACES ENVELOPPES

surface en un point seulement. Au contraire, le plan tangent à un cône ou à un cylindre ne dépend que d’un paramètre variable, mais ce plan touche son enveloppe tout le long d’une génératrice.

913. Surfaces développables. — La surface enveloppée par un plan ne dépendant que d’un paramètre variable est appelée surface développable.

Soit

(23) z=ax+ y f(a)+ (a)

l'équation du plan mobile P, & étant un paramètre variable, f(x) el o(a) deux fonctions quelconques de ce paramètre. La caractéristique est définie par l'équation (25) jointe à l'équation

(24) CH ANS) Ho (a) + 0;

obtenue en différentiant par rapport à &; c’est donc une ligne droite G, et la surface développable est une surface réglée. Nous allons démontrer que toutes ces droites G sont tangentes à une courbe gauche. Pour cela, différentions encore une fois par rapport à «; la nouvelle équation obtenue

(25) Mer p(a)=0

détermine sur la caractéristique G un point particulier M. Le lieu de ces points M, lorsque « varie, est une courbe gauche F, dont la tangente est la droite G elle-même. La courbe F est, en effet, représentée par les trois équations (23), (24), (25), dont on pourrait tirer les coordonnées æ, y, 3 en fonction de &. Si l’on différentie les deux premières de ces équations, en ayant égard à

la dernière, 1l vient (26) dz = « dx + f(a) dy, dx + f'(a) dy = 0,

relations qui expriment que la tangente à la courbe l'est parallèle à la caractéristique G. D'ailleurs ces deux droites ont un point commun; donc elles se confondent.

Toute surface développable peut donc étre définie comme la surface engendrée par les tangentes à une courbe gaucheT. Cette courbe F peut, comme cas exceptionnel, se réduire à un point, à distance finie ou à l'infini; la surface est alors un cône

ou un cylindre. C’est ce qui arrive lorsque MONET

Réciproquement, toute surface engendrée par les tangentes à une courbe gauche F est une surface développable. Soient

les coordonnées d’un point de F'; le plan osculateur, dont on donnera plus loin la définition géométrique (n° 222), a pour équation

3) =E 0 les coefficients A, B, C satisfaisant aux deux relations

(28) Adx +B dy +Cdz=o, ABdx+Bdy+Cdz =o.

Ce plan dépend d’un seul paramètre variable £; nous allons vérifier que la caractéristique de ce plan est précisément la tangente à la courbe F. Cette caractéristique est l'intersection du plan osculateur avec le plan

dA(X—zx)+ dB(Y — y)+dC(Z — 3) =,

qui passe également par le point (x,'y, z). Pour démontrer qu’elle se confond avec la tangente, il suffit de prouver que l’on a

A dx + Bdy +Cdz=0, dA dx + dB dy + dC ds = 0;

la première relation est une des relations (28) qui déterminent A, B, C. La seconde s’en déduit en différentiant la première, et tenant compte de la dernière équation (28).

Ce mode de génération d’une surface développable permet de se faire une idée assez nette de la forme de la surface. Soit AB un arc de courbe gauche; par chaque point M de l'arc AB menons la langente, et ne considérons que la portion de tangente qui correspond à une direction déterminée, par exemple celle de A vers B. Le lieu de ces demi-droites est une nappe de surface S, limitée par l’arc AB et les deux tangentes en À et B, s'étendant d’autre part Jusqu'à l'infini. En prenant de même les autres portions de tangentes, on obtient une autre nappe de surface analogue S,, qui se raccorde avec S, Le long de l’are AB ; les deux nappes de surface paraissent se recouvrir partiellement pour un observateur placé au-dessus. Il est clair que tout plan passant par un point O de l’arc AB coupe les deux nappes S, et S; suivant deux branches de courbe qui viennent se raccorder au point O, en formant