I. — COURBES ET SURFACES ENVELOPPES

un rebroussement; cette propriété explique le nom -d’aréte de rebroussement donné à la courbe gauche F.

Il est aisé de le vérifier par le calcul. Prenons le point O pour origine, le plan sécant pour le plan des æzy, la langente pour axe des 3, le plan osculateur pour plan des æ3; si l’on a pris z pour la variable indépendante, les développements de x et de y sont de la forme

et les équations de la tangente en un point voisin de l’origine s’écrivent

Si l'on fait Z—0, on a les coordonnées X, Y du point de rencontre de la tangente avec le plan sécant; les développements de ces coordonnées commencent respectivement par un terme en 2° et par un terme en 3°. On a donc bien un rebroussement à l'origine.

Exemple. — Prenons pour arête de rebroussement la cubique gauche æ=t,y=t?,z = 414%. L'équation du plan osculateur est | DEN 32Y 7 —\0;:

on obtiendra l'équation de la surface développable en écrivant que l’équa-

tion précédente, considérée comme une équation en {, admet une racine double, ce qui revient à éliminer £ entre les deux équations

E— otX + Y—o, Xt2—21Y+Z=—0o.

Le résultat de l'élimination est (XY —Z}— 4(X2— Y)(Y2— XZ) = 0, la surface développable est done du quatrième ordre.

On peut remarquer que les équations (E) représentent la tangente à la cubique gauche.

MA. Si z —F(x, y) est l'équation d’une surface développable,

la fonction F(x, y) satisfait à l'équation s°— rt —=0, r,5,t désignant, suivant l’usage, les trois dérivées partielles du deuxième ordre de la fonction F(x, y).

En effet, le plan tangent à cette surface, qui a pour équation ZL=pX+qY+z—pz—q7y,

ne doit dépendre que d’un paramètre; des trois quantités p, g, 3—px—qy,1ly en a donc une seule d’arbitraire, et en particulier 1l y a une relation entre p et g, f(p, q) —0. On déduit de là

D CARNET que le jacobien P(P:9) =, 2 doit être identiquement nul.

Inversement, si hou a rt—s?—0o, q et p sont liés par-une relation au moins. S'il y a deux Babe distinctes, p et q sont des constantes p— a, g —b, et la fonction F(x, y) est égale à ax + by + c; la surface est un plan. S’il y a une seule relation entre p el g, on peut l'écrire g — v(p), p ne se réduisant pas à une constante. Mais on a aussi

YUTÉ -È 51) 2 RE SE D(x, y) de sorte que 4 — px — qy est aussi une fonction de p, soit d(p)}, lorsque rt—s?—0o. La fonction inconnue 3 — F(x,y) et ses dérivées partielles p et qg vérifient donc les deux relations

q=gp(p)}, z—px—o(p)y = Y(p);

différentions la seconde par rapport à x et à y, il vient L+y#(p)+VIL = 0. [r+yg(p)+V(p)]E = 0 x 0y Puisque p ne se réduit pas à une constante, on doit avoir G+yp(p)+V%{p)=o.

L’équation de la surface s’obtiendra donc en éliminant p entre cette relation et 3=pr+yo(p) +%(p),

ce qui donnera précisément l'enveloppe du plan précédent, où l’on regarde p comme le paramètre variable.