COURBES ET SURFACES ENVELOPPES
215. Enveloppe d’une famille de courbes gauches. — Une famille de courbes gauches, dépendant d’un paramètre variable, n'admet pas en général de courbe enveloppe. Considérons d’abord une famille de droites
(29) T=4A2+p, Jÿ=bs+ a,
a, b, p, q étant des fonctions données d’un paramètre variable 4; nous allons chercher à quelle condition cette droite est tangente
dans toutes ses positions à une courbe gauche F. Soit :— (a) la coordonnée z du point M où la droite mobile D touche son enveloppe l'; la courbe cherchée l sera représentée par les équauons (29), auxquelles on ajoutera la relation z—vo(«), et les paramètres directeurs de la tangente à cette courbe auront pour
expressions dx
TR = av(a)+a'g(a)+p", dy à À , ? | À da !
D RER Gt ea),
4’, b', p', q' étant les dérivées de a, b, p, g. Pour que cette tangente soit la droite D elle-même, il faut et il suffit que l’on ait dx ds dy 3 NS 15 nt ee, da dr da dx”
c'est-à-dire d'o(x)+p'=0, b'e(x)+gqg'=0.
La fonction inconnue (4) doit donc satisfaire à deux relations distinctes, et par conséquent la droite mobile n'a une enveloppe que si ces relations sont compatibles, c’est-à-dire si l’on a
Lorsque cette relation est vérifiée, on obtiendra la courbe ent f P q veloppe en prenant &(a)——#— #2, € PP P € i ( ) «a b'!
Il est facile de généraliser le raisonnement. Considérons une
famille de courbes (CG), dépendant d’un paramètre variable &
représentées par les équations
(30) FEV; SA1) 40, BOL, a des 0
si ces courbes C sont tangentes à une courbe F, les coordonnées
(x, y, z) du point de contact M de la courbe C, qui correspond à.
la valeur de « du paramètre, avec l'enveloppe sont des fonctions du paramètre à qui vérifient les équations (30), et une autre relation distincte de celles-là. Soient dx, dy, dz les différentielles relas tives au déplacement du point M sur la courbe GC; « restant constant sur la courbe C, on a entre ces différentielles les deux
relations or oF oF Ven pra ele re 2 —0, G 0 FAN 0z 6 à M op op 0 + — dy + — dz = d : 0Y y 03 ‘ fi
Soient d'autre part 0x, dy, 05, 00 les différentielles de x, », 3, @, relatives à un déplacement du point M sur la courbe F; ces différentielles vérifient les relations
dE pe PP Sy RES Û | 5 plate PRO Ni ER
ox RU YEAR = SEE A STI
Pour que les courbes Cet soient tangentes, il faut et il suffit que l’on ait AR CUP IOMELE
5x dy ds
et ces conditions deviennent, en tenant compte des relauons (31) et (52),
Les coordonnées x, y, 3 du point de contact doivent donc vérifier les équations ŒE op
da O4
(33) Rfse)t, b— 0,
Pour que les courbes C admettent une enveloppe, il faut donc que les quatre équations précédentes soient compatibles, quelle que soit la valeur du paramètre «. Réciproquement, si ces équations admettent une solution commune en +, y, 3, quel que soit «, le raisonnement prouve que la courbe décrite par ce point #, ÿ, 4 est tangente en chacun de ces points à la courbe C correspon-
