COURBES ET SURFACES ENVELOPPES

dante. Ceci suppose toutefois que le point de coordonnées (Z, y, 3) n’est pas un point singulier de la courbe C, c’est-à-dire que les relations (31) déterminent les rapports des différentielles PE dy, dz.

Remarque 1. — Lorsque les courbes CG sont les caractéristiques d’une famille de surfaces à un paramètre F(xz; 7,2, «) — 0, les équations (33) se réduisent à trois équations distinctes

oF FE

34) F—0o ae 0). 10!

la courbe représentée par ces équations est donc l'enveloppe des caractéristiques. C’est la généralisation de la propriété établie plus haut pour les génératrices d’une surface développable.

Remarque IT. — La première et la troisième équalion du système (35) représentent la caractéristique de la surface à un paramètre F(x, y, z, «) —0o. La seconde et la quatrième équation représententde même la caractéristique de la surface D(x,y,3,4) — 0. S1 la courbe C a une enveloppe, tout point de contact de C avec son enveloppe appartient donc à la fois à ces deux caractéristiques. L'enveloppe de C fait partie de l'intersection des enveloppes des deux surfaces.

Les équations d’une droite mobile se présentent quelquefois sous la forme Lo ne V— Yo : E— 2%

99) Éd les e

Toy Pos 30: À, D, € étant des fonctions d’un paramètre variable &. Il est aisé de trouver directement la condition pour que cette droite ait une enveloppe. Désignons par / la valeur commune des rapports précédents ; les coordonnées d’un point quelconque de la droite ont pour expressions

æ = Lo + la, Y = Yo+ lb, 3 = Z9+ lc,

et il s'agit de voir s’il est possible de prendre pour / une fonction de « telle que la courbe décrite par le point (x, Ÿ, 3) Soit tangente à la droite mobile. II faut pour cela que l’on ait

A Do gb D sprl sé SPP DD DENT TNT PPPR

en désignant par 72 une nouvelle indéterminée égale aux rapports précédents, et éliminant / et m entre les trois équations linéaires obtenues,

532 CHAPITRE X.'— THÉORIE DES ENVELOPPES. — CONTACT: on est conduit à l'équation de condition

# ; , 2 MN AUOT

(37) DUC D UC TIEeNON

Si cette condition est satisfaite, les relations (56) donneront À et par suite l'enveloppe.