II. — CONTACT DE DEUX COURBES, ETC

les équations des deux courbes, et (xs, 9) les coordonnées du

point À ; les coordonnées du point m seront x, + À et (Lo + h),

et celles du point! seront de même x, + 4 et F(xo +4), # dési-

gnant une fonction de À qui tend vers zéro avec A, et qui définit le

mode de correspondance adopté entre les points des deux courbes.

Observons encore qu'on peut remplacer linfiniment peut prina}

. 9] . . Te cipal Am par = ap, car le rapport ee tend vers une limite finie

différente de zéro lorsque le point m se rapproche indéfiniment du point À.

* Cela posé, admetions que, pour un certain mode de correspondance adopté, mm/ soit un infiniment petit d'ordre 7 + r par rap-

port à 2; mm est alors un infiniment peut d'ordre 27° + 2. Or on peut écrire, 4 désignant l'angle des axes,

mm = [F(æo 4) — f(æo+h)+(k— h)cosBP+(k—h) sin? 0;

il faut donc que chacune des différences À — h et F(xo+k)— f(ro+h)

soil un infiniment petit d'ordre r + 1 au moins, c’est-à-dire que l’on ait LR ahres, Ftwo-r &) — f(ro+ h) = Bhrr,

a el $ étant des fonctions de X qui restent finies lorsque À tend

vers zéro. La dernière formule peut s’écrire Féxo+h+ahrt1)— f(xo+ h) = $Bhr"+;

si l’on imagine F(x, + h+ xh"tt) développé suivant les puissances de #, la partie qui dépend de + est un infiniment petit d'ordre 7 + 1 au moins, la différence

A=F(xo+h)— flæo+h)

est donc un infiniment petit d'ordre au moins égal à 7 +1, mais peut être d'ordre supérieur. Or cette différence A représente la distance mn des points des deux courbes OC, C', qui sont situés sur une même parallèle à l’axe O y. Puisqu'en remplaçant le point m' par le point » on ne peut qu'augmenter l’ordre infinitésimal de nm, on en conclut que la distance de deux points corres-

pondants des deux courbes est de l’ordre infinitésimal le plus grand possible lorsque les points correspondants sont situés sur une parallèle à l’axe O y. Si cet ordre est égal à +1, on dit que les deux courbes ont un contact d’ordre r au point A.

Remarques. — Cette définition donne lieu à un certain nombre de remarques. L’axe O y est en définitive une droite assujettie à la seule condition de ne pas être parallèle à la tangente commune AT ; on peut donc, pour évaluer l’ordre du contact, faire correspondre les points des deux courbes situés sur une droite parallèle à une droite fixe D, non parallèle à la tangente. Le raisonnement" précédent prouve que l’ordre infinitésimal obtenu ne dépend pas de la direction de la droite D : c’est ce qu'il est aisé de vérifier. Supposons, en effet, que par un point m de la courbe C on mène deux droites »#m' et mn ( fig. 38) parallèles à deux directions fixes autres que la tangente. Dans le triangle mm'n, on à

' Ê N'a mm sin nnm mn LAPS

sin AM n

LR

lorsque le point m se rapproche du point À, les angles mnm', mm'n ont des limites différentes de o et de 7, car la corde m'n a pour limite la tangente AT, et par conséquent m#1m/ est du même ordre que mn. Le même calcul prouve que mm/ ne peut pas être un infiniment petit d'ordre supérieur à mn, quelle que soit la con-

struction dont on déduit le point »' du point m puisque le nu-

LAMTN mérateur sin nnm a une limite finie différente de zéro.

On a pris pour infiniment petit principal l’are Am ou la corde Am ; on aurait obtenu le même résultat en prenant pour infiniment petit l’are À n de la courbe C/ car Am et A n sont du même ordre.

Lorsque deux courbes C, C! ont un contact d'ordre r, on peut imaginer une infinité de correspondances entre les points m, ml des deux courbes de facon que mm! soit un infiniment petit d'ordre 7 +1. Il suffit de prendre k— h + ahstt, s étant 27, et « étant une fonction de L qui conserve une valeur finie lorsque h— 0. Si l’on avait sr, mm! serait d'ordre s + 1 seulement.