II. — CONTACT DE DEUX COURBES, ETC

deux courbes C, C’, il faut, d’après cela, évaluer Pordre infinitésimal de Y VE F(xzo + h) — f\ Co h)

par rapport à L. Les deux courbes étant tangentes au point À, on a d'abord F(xo) = f(xo), F'(xe) = f"(xo), mais il peut se faire qu’un certain nombre d’autres dérivées des deux fonctions soient égales pour x. Supposons, pour prendre le cas général, que Von ait

F(xo) ER LETTRE F'(æo) a J'(æo);

(38) nn Fa) =" (To): e.) FU (x). = f (wo),

les dérivées suivantes F+1) (x,) et fl (xs) étant inégales. En appliquant la formule de Taylor aux deux fonctions F(æ) et f(x), nous pouvons écrire

fon NV —Féri)+ + Fo) +...

hr RP Fe NL) 1.2:..(70 +1)

y = fa) + E f'U) +.

hr hn+i D Ru (æe) HAUT + 1)

hnr+i Lee [FU (2) + €)

PMICOEES

et, en retranchant membre à membre,

hn+1

‘ — y —= F'(a+1) — far (y Te ME T F STNoUD DADTA UD SAT L

e, </ étantinfiniment pelits. L'ordre du contact des deux courbes est donc égal à l’ordre des plus hautes dérivées des fonctions f(x) et F(x), qui sont égales pour x = Lo:

Les conditions (38), données par Lagrange, expriment aussi que l'équation F(æ) = f(x) admet x = xo pour racine multiple d'ordre n +1. Or cette équation détermine les abscisses des points communs aux deux courbes C, C/; on peut donc dire que deux courbes, qui ont un contact d’ordre n, ont n + 1 points d'in- Lersection confondus en un seul.

La formule (39) montre que Ÿ —y change de signe avec À lorsque n est pair, et ne change pas de signe lorsque » est impair. Donc deux courbes qui ont un contact d'ordre impair ne se

traversent pas au point de contact, et deux cou rbes qui ont un contact d'ordre pair se traversent. I est aisé de s’en rendre compte. Considérons, pour fixer les idées, une courbe C’ traversant la courbe C en trois points voisins du point A; si cette courbe C' se déforme d’une manière continue, de façon que les trois points d’intersection viennent se confondre au point À, la position limite de C’ a un contact du second ordre avec C, et il suffit de faire la figure pour voir que les deux courbes se traversent au point À. Le raisonnement est évidemment général. Lorsque les équations des deux courbes ne sont pas résolues par rapport aux ordonnées y et Ÿ, ce qui est le cas général, les règles du calcul des dérivées permettent toujours de former Îles conditions nécessaires pour que les deux courbes aient un contact d'ordre #. Le problème n'offre donc aucune difficulté spéciale. Nous examinerons seulement quelques cas particuliers, d’une application fréquente. Supposons d'abord que les coordonnées d’un point de chaque courbe soient exprimées en fonction d’un

paramètre variable

(G) m=f(t),, y=e(t), (G') M fL LL), Xe),

et que pour une valeur particulière {4 on ait à la fois d(4,) = o(t0), L'(£6) = %'(t), de façon que les deux courbes soient tangentes au point À, de coordonnées f(t5), 2(45). Si f'(t9) n’est pas nul, ce que nous supposerons, la tangente commune n’esi pas parallèle à Oy, et l’on obtient les points des deux courbes qui ont même abscisse en posant # — 1. D'autre part, x — x, est du premier ordre par rapport à {—1{,, et nous sommes encore ramenés à évaluer l’ordre infinitésimal de Ÿ(t) — ©(t) par rapport à & — 4. Pour que les deux courbes aient un contact d'ordre n, il faut et il suffit que l’on ait

(40) (to) = o(to), Y'(£o) = v’(to), 22 (0) = OPEERS

et le contact est d’ordre » seulement, si les deux dérivées d(#+1 (4) (n+1) \ RS Pre et © ({o) sont inégales.

Considérons encore le cas où la courbe C est représentée par les deux équations

II. — CONTACT DE DEUX COURBES, ETC. | 537 la courbe C! ayant pour équation F(x,y)—o. Ce cas peut se ramener au précédent; remplaçons æ par f(t) dans F(x,7y)et soit y —="#Ÿ(4) la fonction implicite définie par la relation

de sorte qu'on peut aussi regarder la courbe C' comme représentée par le système des deux équations

(43) x= f{t), = (te).

Pour que les deux courbes C, C’ aient un contact d'ordre nr au point À qui correspond à la valeur £, du paramètre, il faut que les relations (40) trouvées plus haut sortent satisfaites. Or les dérivées successives de la fonction implicite d(#) se déduisent des

équations Ai oF |, À RS We, SE \/ ue da) ht) 0, ado of x 4 A 2 ! L nru l 0x? EX AA rep )'Ÿ'(é) fn 1 EF dF F (14) | » ait [dope = ft) + —Y(E) = 0, dy* : ÿ ® 0 PR:

gd’ F ë £ dE PAL CARD AM NEMAX €) #5 0 ;

on obtiendra les conditions du contact en faisant, dans ces formules, re ATOTOE 2 HUE U(éo) = o(o); U(Lo) rs o'(£o), ARE MAT ERARSAETSR Ces conditions peuvent s’énoncer comme 1l suit. Posons f(4) = F[ (4), o(4)]; pour que les deux courbes aient un contact d'ordre n au point t=t,, il faut et cl suffit que l’on ait

(45) É(to) = 0, $'(t5) = 0, 6149 FU) (to) = 0.

L’équation $(t) — o donne les valeurs du paramètre 4 qui correspondent aux points d’intersection des deux courbes. Les condiions du contact expriment encore que cette équation admet { = to pour racine multiple d'ordre n +1, c'est-à-dire que les deux courbes ont 7? +1 points communs confondus en un seul.

218. Courbes osculatrices. — Étant données une courbe déterminée C et une courbe C/, dépendant de 7 +1 paramètres &, b,

538 CHAPITRE X. — THÉORIE DES ENVELOPPES. — CONTACT. LE Li TEprppentécs Ar

(46) F(æ, y, a. b,ce, ..., l)=o,

on peut choisir les valeurs de ces n + 1 paramètres de façon que la courbe C/ ait avec la courbe C, en un point donné à l’avance, un contact d'ordre n. Soient x = f(t), y = 2(t) les coordonnées d’un point de C; les conditions pour que les deux courbes C, C! aient un contact d'ordre » au point {— {4 sont données par les équations (45), où l’on a posé

$(t) = FLF(E), ot), a, b, cl

La valeur {, du paramètre étant donnée, ces 7 +1 équations déterminent les nr +1 paramètres a, b, c, .... l. La courbe C ainsi obtenue est dite osculatrice à la courbe C.

Appliquons cette théorie aux courbes les plus simples. L'équation d’une droite y — ax + b dépend de deux paramètres a et à; la droite osculatrice a donc un contact du premier-ordre. Si y =/f(x) est l'équation de la courbe C, les paramètres @ et b doivent vérifier les deux relations

(To) = A9 + b, J'(æo) rt.

on retrouve l'équation de la tangente, comme on devait s’y attendre, L'équation d’un cercle

dépend de trois paramètres a, b, R; le cercle osculateur a done un contact du second ordre. Soit y = f(x) l'équation de la courbe donnée ; on déterminera a, b, R en écrivant que le cercle rencontre cette courbe en trois points confondus, ce qui donne, avec l’équation (45), les deux conditions

(48) car (yrb)yl=, dope (0)

Les valeurs de a et b que l’on déduit de ces deux relations sont identiques aux coordonnées du centre de courbure ; donc le cercle osculateur coïncide avec le cercle de courbure. Le contact étant du second ordre, nous pouvons en conclure que le cercle de courbure d’une courbe plane traverse cette courbe au point de contact.