II. — CONTACT DE DEUX COURBES, ETC

‘Fous ces résultats pouvaient être prévus a priort. En elfet, les coordonnées du centre de courbure ne dépendent que de x, y, y', y"; deux courbes qui ont un contact du second ordre ont donc même centre de courbure. Or le centre de courbure du cercle osculateur est évidemment le centre de ce cercle lui-même ; donc il y a identité entre le cercle de courbure et le cercle osculateur. Considérons, d'autre part, deux cercles de courbure voisins; la différence des rayons, qui est égale à Parc dela développée compris entre les deux centres, est supérieure à la distance des centres. L’un des deux cercles est donc tout entier intérieur à l’autre, ce qui ne pourrait avoir lieu si les cercles étaient tous les deux intérieurs ou tous les deux extérieurs à la courbe C, dans le voisinage du point de contact. Il faut donc qu'ils traversent la courbe C.

Il y a cependant sur une courbe plane certains points particuliers où le cercle osculateur ne traverse pas la courbe, et cette remarque se rattache à une propriété sénérale. Étant donnée une courbe C/ dépendant de à +1 paramètres, on peut ajouter aux (n +1) équations (45) la nouvelle équation

Jia+1)(40) — O,

à condition de regarder {, comme une nouvelle inconnue à déterminer. Il y a donc, en général, sur une courbe plane C, un certain nombre de points où le contact avec la courbe osculatrice C’est d'ordre # +1. Ainsi, il v a des points où la tangente à un contact du second ordre; ce sont les points d’inflexion, pour lesquels y'= 0. Pour avoir les points où le cercle osculateur à un contact du troisième ordre, il faut différentier la dernière des équa-

tions (48), ce qui donne PH) rEEr0; et, en éliminant y — b, on est conduit à la condition

(49) (ae ES HN 0.

Les points qui satisfont à cette condition sont ceux pour lesquels dB 9 \ Lo 4 æ ‘ on a —0, C est-à-dire où le rayon de courbure est maximum T Le

ou minimum. Pour une ellipse, ce sont les sommets; pour une cycloïde, les points où la tangente est parallèle à la base.

219. Une courbe osculatrice peut être regardée comme la position limite d’une courbe C, qui rencontre la courbe C en # +1 points infiniment voisins, lorsque tous ces points sont venus se confondre. Prenons, pour fixer les idées, une famille de courbes dépendant de trois paramètres a, b, c, et soient 4, + h,, to + ho, Lo 3 trois valeurs voisines de £,; la courbe C/ qui rencontre la courbe C aux trois points correspondants est déterminée par les trois équations

(50) F(to+ hi) = 0, F(to+ h2) = 0, F(to+ ka) 0.

Retranchons la première équation de chacune des deux autres, el appliquons aux deux différences la formule des accroissements finis, nous obtenons le système équivalent

CERN É(to+ hi) = 0, É'(to+ ki) = 0, S'LLER ks) 10;

où k, est compris entre 4, et h:, k, entre L, et k;. En retranchant de nouveau la seconde équation de la troisième, et appliquant la formule des accroissements finis, on arrive à un nouveau système

(52) (to+ h;)= 0, F'(to 2 FD) 0, "(to + 1) = 06,

l, étant compris entre X, et k:. Lorsque h,, h:, k3 tendent vers zéro, il en est de même de Æ,, £:, l, et ces équations deviennent à la limite

ce sont Justement les équations qui déterminent la courbe oscula-, trice. Le raisonnement est le même, quel que soit le nombre des paramètres, et l’on pourrait aussi définir la courbe osculatrice

comme la limite d’une courbe C' tangente en p points à la

courbe C, et la coupant en g autres points (où 2p + q = nr +1 }; lorsque ces p + q points viennent se confondre en un seul.

Par exemple, le cercle osculateur est la posiuon limite d’un cercle passant par trois points de la courbe G infiniment voisins du point de contact. C’est aussi la position limite d’un cercle tangent à la courbe C au point donné et passant par un autre point de la courbe C infiniment voisin du premier. Je m'’arrêterai un instant sur cetle propriété, facile à vérifier.

Prenons pour origine le point donné, pour axe des x la tangente