II. — NOTATION DIFFÉRENTIELLE
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Les mêmes règles permettront de calculer les différentielles successives. Soit, par exemple, à calculer les différentielles successives d’une fonction de fonction y = f(u); on a déjà trouvé
ay Ju) du.
Pour calculer dy, 1l faut remarquer que du ne doit pas être traité comme constant, puisque w n’est pas la variable indépendante. On a donc à calculer la différentielle d’une fonction composée f'(u) du, où w et du sont deux fonctions intermédiaires, ce qui donne |
dy=f'(u)du?+f'(u) d'u.
Pour calculer d'y, il faudra considérer dy comme une foncion composée avec trois fonctions intermédiaires u, du, d?u; on trouve de cette façon
dy = f"(u) du3+ 3f"(u) du du + f'(u) ds u,
et ainsi de suite. Il est à remarquer qu’à cause des termes en d?u, du, ..., les formules qui donnent les différentielles d?y, d'y, ... ne sont plus les mêmes que si w était la variable indépendante. Les dérivées partielles d’une fonction de plusieurs variables se représentent par uné notation analogue. Ainsi la dérivée partielle d'ordre n de f(x, y, 3) qui est représentée, dans la notation de Lagrange, par fi, est représentée, dans la notation de Leibniz, par 2 ÔxP 0y4 037?
cette notation est purement symbolique et ne représente nullement un quotient, comme dans le cas d’une fonction d’une seule
variable indépendante (1).
93. Différentiélles totales. — Soit w — f(x, y, z) une fonction des trois variables æ, y, z, admettant des dérivées partielles du premier ordre continues. L’accroissement Aw, correspondant à des accroissements dx, dy, dz des variables x, y, 3, a pour expres-
sion
Aw =(fi+e) de +(f,+e) dy + (f2+ ce") dz,
e, c/, ” tendant vers zéro en même temps que dx, dy, dz.
(:) L'emploi de la lettre 9, pour désigner une dérivée partielle, est dù à Jacobi.
On appelle différentielle totale V'expression RTL of of do TO NN 93 45
qu'on obtient en négligeant e, e/, &’ dans Aw. Les trois produits L dæ, L dy, Ÿ sont les différentielles partielles.
La différentielle totale du second ordre d?w est la différentielle totale de la différentielle totale du premier ordre, les accroissements dx, dy, dz restant constants et toujours les mêmes quand on passe d’une différentielle à la suivante. On a donc
0 dw 0 dw 9 du
PA TA ra Eee ——— d'wÔ = d(dw)— dx + Tr dy + “. dz,
ox
ou, en développant,
2 2 2 do (SE dx + ou dy + TE ds) de
0x? 0x 0Y 0x 03 ( UT dx + TE Fat ee ds) dy Er (UT. de TE dy + D ds ) dz == dr? + . dy? + TI des He rs, dx dy + 2 . dx dz + 9 LE dy da.
S1 l’on remplace, dans le second membre, 92f par df?, on a le
A fr développement du carré de Se A + a 4% nr dz; on peut donc écrire l'égalité symbolique
so of ra FR pe (de + Si n. as) où l’on doit convenir que df? doit être remplacé par 0? f après le développement du carré. Gette loi est générale; si nous convenons d'appeler différentielle totale d'ordre n la différentielle totale de la différentielle totale d'ordre r — 1, on a, quel que soit n, l’égalité symbolique (a) dre = (Far + Lay + da he
0Y de
