OP MP
etes À > MP 2 la limite du rayon R, est donc bien égale au rayon de courbure R. 99{). Contact de deux courbes gauches. — L'ordre de contact
de deux courbes gauches se définit comme pour Les courbes planes. Considérons deux courbes F, [”, tangentes en un point com-
mun À; soit M un point de l voisin de À, auquel on fait corres-
pondre un point M' de F’ d’après une loi quelconque, de telle façon que les deux points M, M Lendent simultanément vers le point À. Nous allons chercher quel est l'ordre infinitésimal maximum de MM' par rapport à l'arc AM considéré comme infiniment pelil prin-
cipal; si cet ordre est 7 +1, nous dirons que les deux courbes ont un contact d'ordre n. |
Rapportons les deux courbes à un système d’axes rectangulaires ('), le plan des yz n'étant pas parallèle à la tangente commune, et supposons d’abord leurs équations mises sous la forme suivante :
(r) JF = f(x). cr) Ce
2 = 1e (x), ZL'= PEN)
SI Lo; Vo: Zo Sont les coordonnées du point de contact, les
coordonnées des deux points M, M' sont respectivement
M{xo+ À, f(x + h), o(xo+ h)], MTro+ À, F(xo+ k), P(xo+ Æ)],
À élant une fonction de k qui dépend de la loi de correspondance établie, et qui s’annule avec À. On peut encore prendre À pour infiniment pelit principal au lieu de l'arc AM (n° 216), et, pour que MM soit un infiniment petit d'ordre n +1, il faut que chacune des différences
Kk—h, F(xo+k)— f(xv+h), P(ro+ A) —9(ro+h)
soit un infiniment peut d'ordre 7 +1 au moins. On doit donc
avoir k—h=ahr#1, F(xzo+ Æ) + J(Xocr h)= BAn+i, P(ro+ A) — 0 (20 + À) = yhin,
2, 8, restant finis lorsque A tend vers zéro : en remplacant Æ par F2 | I ) PrRC P sa valeur + xh*#1, les deux dernières conditions deviennent
F(to+ h+ ah) = f(x + h) = Bhr+i, P(To + fut à An#A1) re P(To+ h) = y hi,
En développant F(x, + 4 + ahrt1) et (x, + h + æh##1) par la formule de Taylor, tous les termes qui dépendent de o contiendront "+! en facteur, et les différences
ÆF(to+h)— flro+h), Pb(xy+ h) — o(xo+h) 2 — À ———————— (*) Il est facile de voir que cette hypothèse n’est nullement nécessaire pour la
suite, en se reportant à la formule qui donne la distance de deux points en coordonnées obliques. |
