CONTACT DE DEUX COURBES, ETC

devront être d'ordre nr +1 au moins. Il s'ensuit que, si la distance MM! est d'ordre r +1, la distance MN des points M,Ndes deux courbes qui ont même abscisse (Zo + h) est d'ordre n +1 au moins. On obtiendra donc l’ordre infinitésimal maximum en faisant correspondre les points des deux courbes qui ont même abscisse.

IL est facile d'évaluer cet ordre. Les deux courbes étant tangentes, on a les relations

fa) = Ft), f'(t)= Ft), 2(%%) = P(ro), 9'(to) = P'(Lo); supposons que l’on ait en outre, pour prendre le cas général,

Î(&o) == F"(xo), NE" AMIE TS == Ft(x), p"(To) = P"(To), mr gt) (x) = Pre);

l’une au moins des différences

Fta+10) (ro) — furt (Ts), pla+1) (x) de QUAI) CES )

n'étant pas nulle. La distance MM! sera d'ordre n +1, et1l y aura un contact d'ordre n. Le résultat peut encore s’énoncer comme il suit : Pour avoir l’ordre de contact des deux courbes |”, T’, il suffit de considérer les projections (CG, C') et (Gi, C;) de ces courbes sur les deux plans xOy et xO3, d'évaluer l’ordre de contact de C avec C’, celui de C, avec C;, et de prendre le plus petit de ces deux nombres.

Lorsque les courbes F, [’ sont représentées par les formules

(F) DT OUR pie UNE EP CE (EL) X = f(u), Y (u), Z=W(u),

ces courbes sont tangentes en un point si, pour u—{—tlo, On à D(to) = p(to) P'(éo) = ? (to), W(to) = Y(bo), wo) = Ÿ'(to);

nous supposerons qu'au point de contact la tangente n'est pas parallèle au plan des yz, c'est-à-dire que f’(t) n’est pas nul. Les points des deux courbes qui ont même abscisse correspondent à une même valeur de &. Pour qu'il y ait un contact d'ordre n, il faut et il suffit que (rt) —o(t), W(t) — d(£) soient des infiniment petits d'ordre ñ +1 par rapport à t—(t,, c'est-à-dire que

54 CHAPITRE X. — THÉORIE DES ENVELOPPES. — CONTACT. l’on ait P'(Lo) = œ( 5). See PU) (45) = ol) (6), (to) — d to À AL Wa) (4, ) = LU (40 )

l’une au moins des différences

Plit1)(t)—ot+0(4), Wait (4) — Dia+1) (4)

n'étant pas nulle.

On ramène au cas précédent le cas où l’une des courbes Fest représentée par les équations

(53) TE ft), Jæ=eGty, 2=4%(t)

la courbe F’ étant représentée par un système de deux équations

non résolues Fri 2) = 0, Fi(r y 2)

En reprenant les raisonnements du n° 217, on démontre que, pour qu'il ÿ ait un contact d’ordre À au point de F qui correspond à la valeur £, de t, on doit avoir

Us FA UEo) =10: $'(&o)— 0; LAS FU (15) = 0, (54) « 2 LA g ste q(n) = | Si(to) = 0, MÉSIE x Les «he Ji (40) 0; en posant :

F(e)= [SC 80) LOL F0 = Fi[/(0), ee), 4), 221. Courbes osculatrices. — Considérons, d’une part, une

courbe déterminée T dont les coordonnées sont exprimées en fonction d’un paramètre par les formules (53); d’autre part, une famille de courbes 1” dépendant de 2n + 2 paramètres &, b, €; ..., l, représentées par les équations

COST CE GT NON Pb Me PES 0 F1(%, 7, 3, 00,000

On peut en général disposer de ces 2n + 2 paramètres de façon que l’une des courbes de cette famille ait un contact d'ordre n» avec la courbe T en un point donné. La courbe ainsi obtenue est dite osculatriceàT. Les équations qui déterminent les paramètres a; b,c, ..., l'sont précisément les 27 + 2 équations (54) écrites plus haut. Il est à remarquer que ces équations ne peuvent être compatibles que si chacune des fonctions F, F, contient au moins