II. — CONTACT DE DEUX COURBES, ETC

n +1 paramètres. Par exemple, si les courbes ’ sont des courbes planes, l’une des équations (55) ne renferme que trois paramètres ; une courbe plane ne peut donc avoir avec une courbe gauche un contact d'ordre supérieur au second, en un point pris au hasard sur la courbe gauche.

Appliquons cette théorie aux courbes les plus simples; la droite et le cercle. Une droite dépend de quatre paramètres : la droite osculatrice aura donc un contact du premier ordre. Il est facile de vérifier qu'elle se confond avec la tangente; si nous écrivons les équations de la droite

T=az+p, Yÿ=bz+g,

les équations (54) deviennent en effet, pour un point (T5, Yo; 30) d’une courbe F,

To = Ag + P, LEA AD Vo= D5o+ 4, HD, l ir et l on en tire

, ! # à To HD To AS a—= —) b=— —; P= Lo— — Zo EE D A À)

on retrouve bien les équations de la tangente. Pour que la tangente eût avec la courbe un contact du second ordre, il faudrait

l Û LL HAE mn) Heat bz' t. D: , L que don eût x, —4«az,;,; ÿ, — 02, et, par conséquent,

MANS ET A NOURE A NE a nous retrouverons ces points dans une autre question (n° 226). Un cercle dans l’espace dépend de six paramètres; le cercle osculateur aura donc un contact du second ordre. Écrivons les équations du cercle

F(x,y,4)= A(æ—a)+B(y—b)+C(2—c) =o, Fi(x, Y,3)=(æ—a}+(y—b}+(z—c}—R?=0,

les paramètres variables étant à, 6, c, R, et les rapports de deux

des coefficients A, B, G au troisième. Les équations qui déter-

minent les valeurs de ces paramèties sont alors, en supposant x, CET P 35

546 CHAPITRE X. — THÉORIE DES ENVELOPPES. — CONTACT. he Jr HSE UT TES \ à) ; : .

y; 3 remplacées par /(£), o(t), Ÿ(£) respectivement,

dx dy dz À ee —— t C DEF PR ANR PEGARES dx dy d?3z ARE RL TR ee dt? ” de? G di? 2

dx dy À dz Carr di) ee Ce 07 NA ES 4 dx dy 1 d? z À dx? + dy?+ dz? ss

La deuxième et la troisième de ces relations montrent que le plan du cercle osculateur est le plan osculateur lui-même (n° 222). Quant aux deux dernières équations, elles représentent respectivement, quand on y regarde a, b, c comme des coordonnées courantes, le plan normal au point (x, y, z) et le plan normal infiniment voisin (voër plus loin n° 230).

299. Contact d’une courbe et d’une surface. — Considérons une surface S et une courbe F tangente en un point À à cette surface. À un point M de la courbe voisin du point À, faisons correspondre, d'après une loi arbitraire, un point M’ de la surface, de façon que es deux points M et M' tendent en même temps vers le point A. Nous allons d’abord chercher comment il faut prendre le point M’ pour que l’ordre infinitésimal de MM’ par rapport à Parc AM soit le plus grand possible. Rapportons la figure à trois axes de coordonnées rectangulaires choisis de telle façon que la tangente à la courbe © ne soit pas parallèle au plan des yz, et que le plan tangent à la surface ne soit pas parallèle à Oz. Soientk 2e coordonnées du point A; Z=F(x, y) l'équation de la surface S; y =/f(æ), 3 = (x) les équations de T, et imaginons que, dans un certain mode de correspondance, MM! soit un infiniment petit d'ordre n +1. Les coordonnées +, y, 3 du point M sont

Zo+h, f(æo+h), (x, +h);

appelons X, Ÿ, Z—F(X, Y) les coordonnées de M’, Pour que MM! soit d'ordre ñ +1 par rapport à l’arc AM ou, ce qui vevient au même, par rapport à 4, il faut que chacune des diffé-