II. — CONTACT DE DEUX COURBES, ETC

rences X — x, Ÿ — y, Z — 3: soit uninfiniment petit d'ordre ñn +1 au moins. On doit donc avoir

X—æ—ah"+ri, Y—y = Bhrxt, Z— z= F(X, Y)— 3 = yhrri, 4, $, y restant finis pour À — 0, et par suite FérHahrt, pÆphtt)ez = yhtA.

La différence F(x, y) — z sera donc elle-même d’ordre ñn + 1 au moins. Geci prouve que, si l’on fait correspondre au point M de T le point N de S où la parallèle à O 3 menée par M perce la surface, l’ordre infinitésimal de MN est au moins égal à celui de MM'. On aura donc l’ordre de contact de la surface et de la courbe en cherchant l’ordre infinitésimal de MN par rapport à l’arce AM ou à k. On peut dire encore que c’est l’ordre de contact de T avec la courbe T' qui est la trace sur la surface du cylindre projetant T parallèlement à Oz. (Il est clair d’ailleurs que la direction de Oz peut être une direction quelconque non parallèle au plan tangent.)

Les équations de la courbe [” sont

= f(x) ZL=F[z, f(x)] = (x); et l’on a, par hypothèse, P(Xo)= (20), P'(x0o) = 9 (20); si l’on a, en outre, Pro) = 2" (To), ..., PM(To) = p(xo), PU (x) pr (To),

la courbe et la surface ont un contact d'ordre nr. Observons que l'équation D{x) = w(x) donne les abscisses des points d’intersection de la courbe et de la surface; les condi ions pour qu'il y ait un contact d'ordre 7» en un point À expriment qu'il y a n +1 points de rencontre confondus avec le point A.

Prenons encore le cas où la courbe F est représentée par les Énnalonsnz—/(1),1y=o(t)3—0(E) et la surface Sipar l'équation F(x, y, z)—0. La courbe [", délinie tout à l'heure, serdireprésentée par les équations æ —/f{t), y —=o(t), 3 =r(t), la fonction (4) étant définie par la relation

FL JC), (4), r(4)] = 0.

Pour que Fet T' aient un contact d'ordre n, il faut que r(t) — d(£) soit un infiniment petit d'ordre # +1 par rapport à £— Lo; c'està-dire que l'on ait

(to) = Vo), To) = dE), NS ON

On peut encore écrire ces conditions, (4) ayant la même signification que plus haut (n° 220 ),

# (10) = 0; LIT, Te tn) (to) = 0;

elles expriment que la courbe et la surface ont (n +1) points communs confondus au point de contact.

Si la surface S dépend de nr +1 paramètres &, b; 10, RTE peut en disposer de façon que cette surface ait un contact d'ordre avec une courbe donnée, en un point donné; la surface ainsi obtenue est dite osculatrice.

Dans le cas d’un plan, on a trois paramètres; les équations qui déterminent ces paramètres sont les suivantes :

A f(t) + Bo(t) + CY()+D=o, Af'()+By()+ GY(E) = 0, A f"(t+Be(t)+GV(é) = 0.

Ces équations sont bien celles que nous avons prises pour définition du plan osculateur (n° 213), et l’on voit que le contact est en général du second ordre. Pour que le contact fût d'ordre plus

élevé, il faudrait que l’on eût A f"(t) + B p"(4) + GU(E) = 0,

on dit alors que le plan osculateur est stationnaire. Une sphère dépend de quatre paramètres; la sphère osculatrice a donc un contact du troisième ordre. Le calcul sera eflectué plus

loin (n° 238).

993 Droites osculatrices à une surface. — Si les équations d’une courbe C dépendent de 7n—+2 paramètres variables, on peut disposer de ces paramètres de façon que cette courbe ait, avec une surface donnée S, en un point donné M, un contact d'ordre n. En effet, en écrivant que la courbe C passe par le point M, et qu’elle y rencontre la surface S en n +1 points con-

fondus, on a en tout nr +2 équations pour déterminer les paramètres. Par exemple, une droite dépend de quatre paramètres; il existe donc, en chaque point d’une surface, une ou plusieurs’ droites ayant un contact du second ordre avec la surface. Pour déterminer ces droites, prenons pour origine le point considéré de la surface, l’axe des z n'étant pas dans le plan tangent, et soit z = F(x, y) l'équation de la surface dans ce système d’axes. La droite cherchée passe évidemment par l’origine, et ses équations sont de la forme

T "4 j EE

l'équation Cp — F(ap, be) doit admettre 9 — o pour racine triple, ce qui exige que l’on ait

c—ap +6g, o = ar +2abs + b?£,

P; q»r, St désignant les valeurs des dérivées du premier et du second ordre de F(x, y) pour æ—y—o. La première de ces deux relations exprime que la droite cherchée est dans le plan tangent à la surface, ce qui était encore évident a priori. On voit de plus que le rapport À est déterminé par une équation du second degré, qui a ses racines réelles, pourvu que s?— rt soit posilif. En chaque point d’une surface, il y a donc en général deux droites, et deux seulement, qui ont un contact de second ordre avec la surface; ces droites sont réelles ou imaginaires suivant le signe de s?—74. Nous retrouverons ces deux droites au Chapitre XII, dans l'étude de la courbure des surfaces.

1. Soit C une courbe du troisième degré donnée, ayant un point double en O. Un angle droit MON tourne autour du point O, et ses côtés rencontrent respectivement la courbe C en M et N. Déterminer l’enveloppe de la droite MN. Considérer, en particulier, le cas où la courbe GC a pour équation Ày?= x, ou a+ y°= Ty:

[Licence : Bordeaux, juillet 1885.]

550 CHAPITRE X. — THÉORIE DES ENVELOPPES. — CONTACT. se # 7 , , ’ 2. Trouver les points où la courbe représentée par les équations

= a(nw—sinw), y =a(n—cosw).

a un contact d'ordre supérieur au second avec le cercle osculateur.

[ LICENCE : Grenoble, juillet 1885.) :

3. Soient M, M, Ma trois points voisins sur une courbe plane. Trouver la valeur limite du rayon du cercle circonscrit au triangle que forment les tangentes en ces trois points, lorsqu'ils viennent se confondre.

4. Si une courbe fermée sans point d'inflexion a une dévéloppée fermée, la longueur totale de cette développée est égale au double de la différence entre la somme des rayons de courbure maxima et la somme des rayons de courbure minima, pour tous les points de la courbe proposée.

5. Si l’on mène par chaque point d’une courbe une droite de longueur donnée faisant un angle constant avec la normale, la normale à la courbe, lieu des extrémités de cette droite, passe par le centre de courbure de Ja proposée.

6. Soient 7 le rayon vecteur mené d’un pôle fixe à un point d'une courbe plane, p la distance de ce pôle à la tangente; le rayon de courbure R a dr dp

pour expression R=Æ+7r

7. Le lieu des foyers des paraboles qui, en un point donné, ont un contact du second ordre avec une courbe donnée, est un cercle.

8. Lieu des centres des ellipses dont les axes ont une direction donnée, et qui ont, en un point donné, un contact du second ordre avec une courbe donnée. Re :

9. Soit F(X, Y; x, y )une fonction de deux couples de variables (x, y), (X, Y). Si, dans l’équation F —o, on considère (+, y) comme les coordonnées d’un point déterminé m», X et Y comme des coordonnées courantes, cette relation fait correspondre à tout point »2 du plan une courbe c. Lorsque le point m décrit une courbe C, la courbe correspondante € enveloppe une courbe T définie par les deux équations

T À FRA ETAT) EE 0: ner Cette courbe F se déduit de G par une transformation de contact, et la transformation inverse s'obtient en échangeant le rôle des deux couples de variables (x, y) et (X, Y). Extension aux surfaces (voër n° 62).

Application : F = X?+Y2— Xr—Yy.

40. P our qu’une courbe C représentée par l'équation F(x, y, &) = 0 ait en un point un contact d'ordre » avec son enveloppe, il faut et ïl suffit que l’on ait en ce point

Application au cas où C est une circonférence.

11. Toute surface F(x, y, 3, 4) = 0 a un contact du second ordre avee l'arête de rebroussement de la surface enveloppe, définie par les trois

À : 0F 9F équations F — 0, 0 ai

12. Lieu géométrique des centres des sphères qui ont un contact du second ordre en un point donné avec une courbe donnée.

13. Si l'enveloppe d’une sphère variable, dépendant d’un seul paramètre, se réduit à une courbe F, cette courbe F a un contact du second ordre avec la sphère.

14*. Étant donnée une surfaceS, si de chaque point m de S comme centre on décrit une sphère > de rayon variable R, cette sphère £ touche en général son enveloppe en deux points M, M', tels que la droite MM” soit perpendiculaire au plan tangent en » à la surface S. Calculer la distance 6. du point 7» à la droite MM‘. |

Si la surface S est rapportée à un système de coordonnées curvilignes orthogonales (u, ») telles que l’on ait ds? = Edu?+ Gdv?, on a ï

2 — Re 1 /oR\? 1 /OR \?