I. — PLAN OSCULATEUR

peut encore s'écrire A È LA h° {/4 à ) | 1 2 " Ajhf 112508) à CE) + Le EUeT (De Le (té) +e]}+...=0,

en retranchant la relation (2) multipliée par A, et divisant le h? : i résullat par —; on voit Lè el 3 par —, on voit que le système des relations (2) et (3) est équivalent au suivant :

AJ'(t)+Bg(#)+GY()=o,

AL" CC) ++ Be (t)+ ee] + CTY(E) + es] = 0,

=1, €, € étant infiniment petits avec L. Lorsque À tend vers zéro, cette dernière relation se réduit à

4) A f'(t)+Bo"(E)+ CU (E) = 0.

L’équauion du plan osculateur est donc

(5) A(X =%) +B(Y— y) + C(Z —2)— 0, les coefficients À, B, GC étant assujettis à vérifier les deux relations

(Adxr +Bdy +Cdz —o

6 | Le) | A dx + B dy + Cd? — 0.

On écrit aussi quelquefois l'équation du plan osculateur sous forme de déterminant :

dx dy d? 3

Il est facile de vérifier que, de tous les plans passant par la tangente, le plan osculateur est celui dont la courbe TY se rapproche le plus dans le voisinage du point de contact (n° 222). Considérons d’abord un plan, autre que le plan osculateur, passant par la tangente, et soit F(#) le résultat de la substitution de f(t+ Ah), DCE h), b(t+ h) à la place des coordonnées courantes X, Y, Z dans le premier membre de l’équation (5): nous avons

Re | :

F(é)= IA SC) + Be" + C4 (+ nl,

n étant infiniment petit avec h. La distance d’un point de F, voisin du point M, est donc infiniment petite du second ordre; de plus, F(£) conservant toujours le même signe lorsque À est très petit, on voit que la courbe F est tout entière du même côté du plan tangent dans le voisinage du point de contact.

Il n'en est plus de même avec le plan osculateur; pour ce plan, on a Af"+ Bo’+Cd'=—o, et il faut pousser le développement des coordonnées d’un point de | jusqu'aux termes du troisième ordre en X, ce qui donne après la substitution

bre f:2: 34 di

3 À dr + Bdiy + Cdiz ) PE TE RE + n Ke

On voit que la distance d’un point de F au plan osculateur est inf: niment pelite du troisième ordre: en outre F(#) change de signe lorsque } change de signe, ce qui prouve que la courbe gauche traverse le plan osculateur au point de contact. Ges propriétés distinguent nettement le plan osculateur de tous les autres plans passant par la tangente.

9295. Plans osculateurs stationnaires. — Les conclusions précédentes sont en défaut dans le cas où les coefficients A, B, C de l'équation du plan osculateur vérifient la relation

(7) À Br + Bd y + Cd 3 —o;

dans ce cas, 1l faut pousser le développement des coordonnées

jusqu'aux termes du quatrième ordre, et l’on obtient un résultat

de la forme Fr)

RONA dt*

h* (= dix + B d'y + C dis ) —————— @Û————— " nl).

On dit qu'en ces points le plan osculateur est stationnaire; si A dix + Bd'y + Cd'z n’est pas nul, ce qui est le cas général, F(£) ne change pas de signe avec À et la courbe ne traverse pas son plan osculateur. De plus, la distance d’un point de la courbe au plan osculateur est du quatrième ordre. Si l’on avait encore A d'x + Bd'y + Cd'z—o, il faudrait pousser le développement jusqu'aux termes du cinquième ordre, et ainsi de suite.

En éliminant À, B, C entre les trois relations (6) et (7), on est

LÉ