I. — PLAN OSCULATEUR

conduit à l'équation dTuidy Ldz

(83) | = Kdirs d'ymd?iz L='0; dr dy dz

les racines de cette équation en { donnent les points de la courbe F où le plan osculateur est stationnaire. Ïl ÿ a ainsi, d’une façon normale, sur toute courbe gauche, un certain nombre de points jouissant de cette propriété.

Ceci nous amène à examiner s’il existe des courbes F dont tous les plans osculateurs soient stationnaires. D'une façon précise, cherchons toutes les fonctions +, y, 3 d’une variable #, continues ainsi que leurs dérivées jusqu’au troisième ordre, telles que le déterminant précédent A soit identiquement nul lorsque # varie entre deux limites a et b (a <b).

Supposons d'abord que l’un des mineurs de A relatifs aux éléments de la troisième ligne, par exemple dxd?y — dy dx, ne s'annule pas dans l’intervalle (a, b). Les deux relations

( dz = C dx + C2 dy,

(9) | dz = CG dr + C: d'y

déterminent pour C, et C; des fonctions continues de £ dans cet intervalle; puisque A—0, ces fonctions satisfont aussi à la relauon

(10) d3 3 — C1 dix + C2: dy.

Différentions maintenant les équations (9) en tenant compte de la formule (10); nous obtenons les nouvelles équations

dC; dx + dC: dy = 0, dCi dx + dC: d'y = 0,

d’où nous tirons dCi — dC;—0o. Les coefficients G,, C> sont donc constants et, en intégrant la première des équations (9), il vient

3 = CG + Cy + C3, C: étant une nouvelle.constante. La courbe F est donc une courbe plane.

Si le déterminant dr d?y— dyd?x s'annule pour une valeur c de la variablé £ comprise entre a et b, le raisonnement ne prouve plus rien, car

les expressions de CG; et de C: deviennent infinies ou indéterminées pour cette valeur c de {. Supposons, pour fixer les idées, que ce déterminant ne s’annule que pour cette valeur de # dans l'intervalle (a, b) et que, pour £ — ce, le déterminant analogue dxd?z — dzd?x ne soit pas nul. Le raisonnement qui précède prouve que tous les points de la courbe F obtenus en faisant varier £ de a à c sont dans un même plan P et que tous les points obtenus en faisant varier £ de c à b sont dans un même plan Q. D'autre part, le mineur dxd?z— dzd?x n'étant pas nul pour t— c, choisissons un nombre À assez petit pour que ce mineur ne s’annule pas en faisant varier £ de c—} à c + hk. Tous les points de la courbe F obtenus en faisant varier { de c—hà c+h sont encore dans un même plan R; ce plan R doit avoir une infinité de points communs non en ligne droite avec les plans P et Q et, par suite, ces trois plans coïncident.

En généralisant ce raisonnement, on en conclut que tous les points de la courbe l' sont dans un même plan, lorsque les trois déterminants

dx dy — dy dx, dx d':— dz dx, dy dd: — ds dy

ne s’annulent pas simultanément dans l'intervalle (a, b). Si ces trois déterminants s’annulent en même temps, 1l peut arriver que la courbe F se compose de plusieurs arcs de courbes planes situés dans des plans distincts, qui se rejoignent en des points où l'équation du plan osculateur est indéterminée (!).

Lorsque les trois mineurs précédents sont identiquement nuls dans un certain intervalle, la courbe l est une ligne droite, ou se compose de por-

1 ; : dx ï tions de droites. Si, par exemple, 7 de s’annule pas dans l'intervalle (@, db),

on peut écrire

Py dr —dy dax ddr — d: zx (dæ }” Mo (dx) “00

et l’on en conclut que l’on a dy = Ode, dr Ge dr C1 et C, étant deux constantes; une nouvelle intégration donne ensuite de Gars on 3 = C2œ + GC,

ce qui montre que la courbe Test une ligne droite.

226. Tangentes stationnaires. — Ce qui précède nous conduit à étu—

A LA Là

dier sur une courbe gauche certains points exceptionnels qui ont déjà été

() Ce cas singulier parait avoir éte signalé pour la première fois par M. Peano. Il n'offre évidemment qu’un intérêt purement analytique. |