I. — PLAN OSCULATEUR

signalés (n° 221); ce sont les points où l’on a

din d'y d?z

Nr deu 'dyn dzé

on dit qu’en ces points la tangente est stationnaire. On démontre aisé— ment, en appliquant la formule qui donne la distance d’un point à une droite, que la distance d’un point de l à la tangente en un point voisin, qui est en général du second ordre, est du troisième ordre pour une tangente stationnaire. Si la courbe l se réduit à une courbe plane, les tangentes stationnaires sont les tangentes d’inflexion. Le calcul que nous venons de faire prouve que la seule courbe dont toutes les tangentes soient stationnaires est la ligne droite.

En un point où la tangente est stationnaire, on à À — 0, et l'équation du plan osculateur se présente sous forme indéterminée. Mais cette indétermination n’est qu'apparente. En effet, si nous reprenons les calculs faits au début du n° 224, en poussant le développement des coordonnées du point M' jusqu'aux termes du troisième ordre, et utilisant les relations (11), nous trouvons que l’équation du plan passant par la tangente en M et par le point M' peut s’écrire

X — x Y—7y Z J'(E) ?() RLRS0;

F'C)+e ?"(t)+es VC) +es

€, 52, € tendant vers zéro avec h. Ce plan tend donc vers une position limite parfaitement déterminée; on obtiendra l’équation du plan osculateur en remplaçant la seconde des relations (5) par la suivante

À Bx+Bdy +Cdizs—o.

Si l’on avait aussi dx y . dx

ir dr lirodas il faudrait remplacer la seconde des relations (6) par A dix + B diy + Cd13 =,

q étant le plus petit nombre entier tel que cette relation soit distincte de Adx+Bdy+Cdz—o. Nous laisserons au lecteur le soin de le démontrer et d'étudier la position de la courbe par rapport au plan osculateur Dans le cas général, où l’on n’a pas

À dix +B dy + C d*z = 0,

un plan tangent quelconque est traversé par la courbe gauche, sauf le plan osculateur qui n’est pas traversé.

Application à quelques courbes. — Considérons en particulier les

courbes gauches T qui satisfont à une relation de la forme (12) x dy — y dx = K dz, K étant une constante donnée; de cette relation on déduit encore

N ( æ dy — y dx —Kd?z, (3) l x By —7y dx + dx d'y — dy dx = K d&z.

Étant donnée une courbe de cette espèce, proposons-nous de trouver les plans osculateurs qui passent par un point donné (a, b, c) de l’espace. Les coordonnées du point de contact (x, y, z) doivent satisfaire à l'équation |

dx dy dz Ed dx d'ail is

qui devient, en tenant compte des relations (12) et (15), (14) ay —bx+K(c—z)=0;

les points de contact sont donc à l'intersection de la courbe gauche F et du plan représenté par l'équation (14), plan qui passe par le point fa, b, c). L'équation À = 0, qui détermine les points où le plan osculateur est stationnaire, devient de même, en remplaçant ds, d?3 et d3z par leurs valeurs, t

As K (dx & y — dy dx} = 0;

on aura donc, pour ces points,

dx + dy a Y r— x dy 0 d? z de dy ous y dep CRE

ce qui montre que la tangente en ces points est stationnaire. est facile d’avoir des courbes gauches satisfaisant à la relation (12); il suffit, par exemple, de poser

LT — Am, Ve B Age 3 = C mn,

À, B,C, m, n, étant constants. Les courbes les plus simples sont la cubique gauche æ =#, y =1?, 3 = 43, et la courbe gauche du quatrième ordre æ = 6," y = 13,3 — t*, L'hélice circulaire

D de0st V0 ='4dsint, ze NE

répond aussi à la question.

Pour obtenir toutes les courbes gauches satisfaisant à la relation (12};

BC ane Dh 2e do Se