IL. — COURBURE ET TORSION. — DÉVELOPPÉES
227. Indicatrice sphérique. — Sur une courbe gauche F adoptons un sens de parcours déterminé, et désignons par s l’arc de la courbe AM, compris entre un point À choisi pour origine et un point quelconque M, précédé du signe + ou du signe —, suivant que la direction de À en M est la direction positive ou la direction opposée. Soit MT la direction posttive de la tangente en M, c’està-dire celle qui correspond à des ares croissants. Si par un point O de l’espace on mène des parallèles à ces demi-droites, on forme un cône S, qui est le cône directeur de la surface développable engendrée par les tangentes à la courbe F. Du point O comme centre, avec un rayon égal à l'unité de longueur, décrivons une sphère et soit X l'intersection de cette sphère avec le cône précédent, la courbe X est apprlée l’indicatrice sphérique de la courbe T. Ces deux courbes se correspondent point par point; à an point M de T correspond le point m, où la parallèle à la direction MT perce la sphère. Lorsque le point M décrit l dans le sens positif, le point m décrit la courbe È dans un certain sens, que nous adopterons comme sens positif sur la courbe EX, de façon que les arcs correspondants s et « des deux courbes croissent en même temps (fig. 40).
Il est évident que, si l’on déplace le centre O de la sphère, la courbe ÈZ subit [a même translation; nous supposerons dans la suite que le centre O coïncide avec l’origine des covrdonnées. De
même, si l’on change le sens positif sur la courbe’T, la courbe ZX est remplacée par la courbe symétrique relativement au point O; mais 1l est à remarquer que la direction positive mt de la tangente à Y ne dépend pas du sens du parcours adopté sur F.
Le plan tangent au cône S suivant la génératrice Om est parallèle au plan osculateur en M. Soit, en effet,
AX+BY+CZ=0o
l'équation du plan Omm', le centre O de la sphère étant à l’origine; ce plan étant parallèle aux deux tangentes en M et M!, on doit avoir, les points M et M’ correspondant aux valeurs t et t + h du paramètre,
(16) A f'(t)+Bo'(t)+ C4'(E) = 0, (17) Af'(t+h)+Bo(t+k)+CV4'(t+ Ah) =10;
la seconde de ces relations peut être remplacée par la suivante
AREA) PE) Be PES) a CE) INC PRESSE
0; qui devient, lorsque À tend vers zéro, (18) A f'(t)+B9(t)+0CV4(t)= 0,
et les équations (10) et (10) auxquelles on parvient sont précisément celles qui déterminent le plan osculateur.
228. Rayon de courbure. — Soit w l’angle des directions posi-
Il. — COURBURE ET TORSION. — DÉVELOPPÉES. 561
üves MT, M'T' des deux langentes aux points infiniment voi-
sins M, M' de la courbe T. La limite du quotient ©, lorsque arc MM
le point M' se rapproche indéfiniment du point M, s'appelle la courbure de T au point M; le rayon de courbure est l’inverse
UT A 2 °cMM' de la courbure, c’est-à-dire la limite du quotient —— On peut
encore définir le rayon de courbure comme la limite du rapport
des arcs infiniment petits MM’, mm/; nous avons en effet
arc MM' arc MM arcmm corde mm nn À ES a — ere + Î4) ro) arc mm corde mm u)
arcmnm cordemm!
corde mm” u) lorsque m/ se rapproche de m. Les arcs s, 5 variant dans le même sens, on a donc
et chacun des rapports
a pour limite l’unité
(19) SRE, do Soient (20) me pEzis vit), LHCAUTES
les coordonnées d’un point de la courbe F dans un système d’axes rectangulaires ayant le point O pour origine. Les coordonnées du point »+ sont précisément les cosinus directeurs de MT
dx dy dz WA LRU :
ds ds ds?
on déduit de ces formules
AE CE dy = ds d? 3 — dz ds
d — MN NES = L ds 2 d 5?
(ds dx — dx ds)? + (ds dy — dy ds}+(...y ne rm POULE RS GRR PQ COR ds*
1 40 ds dx — dx sp
ds?
do? — d2+ de2 + d'? — ,
ou, en développant les carrés et tenant compte des relations qui donnent ds? et ds d?s,
— (de + dy?+ ds?) [(dx) + (Py} + (d2}]— (dr dr dy d2y + dz dx)?
L'emploi de lidentité de Lagrange permet encore d'écrire :
A2+ B2+ C2 ds*
