PO) 0) DO E

999. Normale principale. Centre de courbure. — Parle point M de la courbe F, menons une droite parallèle à la tangente en m à la courbe X et considérons sur cette droite la direction MN paral- Jèle à la direction positive m£. La droite ainsi obtenue s'appelle la normale principale à T; c’est la normale située dans le plan osculateur puisque mnt est perpendiculaire sur Om et que le plan Ont est parallèle au plan osculateur (n° 227). La direction MN est la direction positive de la normale principale. C'est une direction bien définie, puisque la direction de mt ne dépend pas du sens de parcours adopté sur F. Nous verrons tout à l'heure comment on pourrait définir cette direction sans se servir de l’indicatrice.

Il. — COURBURE ET TORSION. — DÉVELOPPÉES. 563

Si l’on porte sur la direction MN, à partir du point M, une longueur MC égale au rayon de courbure, l’extrémité C s'appelle Le centre de courbure et le cercle décrit du point Ü comme centre avec le rayon MC dans le plan osculateur s'appelle le cercle de courbure. Soient «!, &/, y! les cosinus directeurs de la normale principale ; les coordonnées Zi, V1, 31 du centre de courbure ont pour expressions

T=x+Ra!, Ji=y +R, Z41=3+R;.

Or, on a ui da dx ds da ds dx — dx d?s

Mn 2 dun dr PT omran

et des formules analogues pour "et y’. En remplaçant par sa valeur dans z;, il vient ds dx — dx ds

ds3 4

Ti 2-7 R?

le coefficient de R2 peut encore s’écrire

ds lx— dx ds ds : d'x(dx2+ dy?+d23?)— dx (dx dx+ dy d?y+ dz d?3) ds gt ds k

ou, en introduisant les coefficients A, B, C,

Badz—Cdy ds

Les valeurs de y, et de z, se déduisent de celles de æ, par symétrie et l’on a, en définitive, pour les coordonnées du centre de

courbure, Bdz—Cdy , GC dx — À dz 25) A dy —B dx Z1 =:3 + R?2 — ,

ces formules sont rationnelles en x, Var MTS EU PE à

Si l’on mène par le point M un plan Q perpendiculaire sur MN, ce plan passe par la tangente MT et ne traverse pas la courbe T au point M. Nous allons montrer que le centre de courbure et les points de T voisins de M sont du même côté de ce plan Q. Pour établir cette propriété, supposons que la variable indépendante

soit l'arc s de la courbe l compté à partir du point M; on a, pour les coordonnées X, Y, Z d’un point M' voisin de M,

À s dx s2 / dx Me Die Er —— +E 1.48 12 use

et deux développements analogues pour Y et Z. Mais, la variable indépendante étant s, on a MEME dx da” Wda ns Ton

PE de di dede

et la formule qui donne X devient

a s? X=T+as+|—+e .

Si l’on remplace X, Y, Z par leurs valeurs dans le premier membre de l'équation du plan perpendiculaire à MN,

le résultat de la substitution est

S ; S À s? k s2 /1 À (ax + By) + nee CS a FRS 2 0 A 2 AR Da

n étant infiniment petit en même temps que s; ce résultat est

positif pour les valeurs de s voisines de zéro. De même en remplaçant X, Y, Z par les coordonnées æ + Ra/, ‘du centre courbure, le résultat de la substitution est KR, quantité essentielle- | ment positive, Ce qui démontre la propriété énoncée. | 930. Droite polaire. Surface polaire. — La perpendiculaire A au {

plan osculateur menée par le centre de courbure s'appelle la droite polaire. Cette droite est la caractéristique du plan normal à F. Il est évident d’ailleurs que l’intersection des deux plans normaux aux points voisins M, M’ est une droite D perpendiculaire aux deux droites MT, M'T' et, par suite, au plan »mO m’. Lorsque le point M’ se rapproche de M, le plan mOm/ devient parallèle au plan osculateur, la droite D a donc pour limite une droite perpendiculaire au plan osculateur. Pour démontrer que cette droite passe par le centre de courbure, supposons qu’on ait pris pour variable